Les groupes hyperboliques forment une classe importante de groupes de type fini qui a attiré beaucoup d'attention en géométrie des groupes. On appelle un groupe de type $F_n$ un groupe qui admet un espace classifiant avec un nombre fini de cellules de dimension au plus $n$. Ca généralise la notion d'être de présentation finie qui est équivalent à être de type $F_2$. Les groupes hyperboliques sont de type $F_n$ pour tout $n$. Alors il est naturel de poser la question si leurs sous-groupes héritent de ces propriétés fortes de finitude. Dans cet exposé, j'explique comment on peut utiliser des méthodes de la géométrie complexe pour démontrer que tout réseau arithmétique avec premier nombre de Betti positif dans $PU(n,1)$ a un sous-groupe d'indice fini qui admet un morphisme sur les entiers à noyau de type $F_{n-1}$ et pas $F_n$. Ce résultat donne une réponse à une vielle question de Brady et produit plein d'exemples de sous-groupes de groupes hyperboliques à presentation finie. C'est un travail en commun avec Pierre Py.