Introduites par Shimura dans les années 50, les paires de Hecke sont des inclusions de sous-groupes qui sont presque normales en un certains sens. A une paire de Hecke est associée un groupe localement compact totalement discontinu, et un sous groupe compact ouvert. C’est sa complétion de Schlichting.

Dans cet exposé, nous relions l’existence de sous-groupes presque normaux à la géométrie à grande échelle des complétions de Schlichting. Cela permet de prouver divers résultats de stabilité pour les conjectures de Baum-Connes et de Novikov, et de les valider sur de nouveaux exemples. Nous présenterons une classe de groupe S-arithmétiques qui entrent dans ce cadre et détaillerons leurs propriété pathologiques.