La marche aléatoire simple sur un graphe définit un Laplacien discret qui agit sur l'espace des fonctions de carrés sommables sur les sommets du graphe. Lorsque le graphe admet un groupe d'automorphisme cocompact, on peut borner la dimension de von Neumann de l'espace des fonctions propres à l'aide d'inégalités isopérimétriques. Lorsque le graphe est de plus moyennable et admet une fonction hauteur, le principe de localisation s'applique et on déduit qu'il n'existe pas de fonction propre. Ces résultats s'illustrent bien sur certains graphes de Cayley de groupes d'allumeur de réverbères, de Heisenberg, de Baumslag-Solitar.  

(Travail en commun avec R. Grigorchuk)