Les représentations quantiques sont des familles de représentations de dimension finie des groupes modulaires de surfaces satisfaisant de fortes propriétés de compatibilité. 

Une des familles les plus connues (dite $SO(3)$) dépend d'un paramètre q qui est une racine de l'unité d'ordre 2r, avec r impair.  

Ces représentations préservent une forme pseudo-hermitienne: récemment avec B. Deroin, on a expliqué comment calculer sa signature (et bien d'autres choses).

Encore plus récemment, j'ai observé que ce calcul faisait intervenir le corps des traces du noeud à deux ponts $K(r,s)$ où $q=\exp(i \pi s/r)$

Au cours de l'exposé, j'expliquerai ce lien, encore mystérieux, ainsi que tous les objets en jeu.