Loïc Chaumont

(Travail en collaboration avec Ron Doney -- Université de Manchester) Selon la factorisation de Wiener-Hopf espace-temps, la fonction caractéristique φ de toute mesure de probabilité μ sur ℝ se décompose de manière unique en le produit,

1−sφ(t)=[1−χ−(s,it)][1−χ+(s,it)],|s|≤1,t∈ℝ,

où χ−(eiu,it) et χ+(eiu,it) sont les fonctions caractéristiques de mesures de (sous)probabilité sur ℤ+×(−∞,0) et ℤ+×[0,∞), respectivement. Nous montrons dans ce travail que μ est caractérisée par la seule donnée du facteur ascendant χ+(s,it), s∈[0,1), t∈ℝ dans de nombreux cas incluant ceux où :

1) μ admet des moments exponentiels,

2) la fonction t↦μ(t,∞) est complètement monotone sur (0,∞) ,

3) la densité de μ sur [0,∞) admet un prolongement analytique sur ℝ .

Nous conjecturons qu'en fait toute loi de probabilité est caractérisée par son facteur de Wiener-Hopf ascendant. Cette conjecture est équivalente à la suivante : Toute mesure de probabilité μ sur ℝ dont le support n'est pas inclus dans (−∞,0) est déterminée par les produits de convolution de μ par elle-même μ∗n, n≥1 restreints à [0,∞) .

Nous montrons que dans de nombreux cas, la seule donnée des mesures μ et μ∗2 restreintes à [0,∞) suffit à caractériser μ. Le conjecture ci-dessus a été démontrée récemment par Mateusz Kwa\'snicki (Université de Wroc\l aw) dans un travail pré-publié sur Arxiv. Nous tâcherons dans cet exposé de donner une idée de la preuve de M. Kwa\'snicki.