Le groupe d'holonomie associé à une variété riemannienne ou
pseudo-riemannienne (en fait, à une variété munie d'une connexion) est
un groupe de Lie introduit par Élie Cartan dans les années 1930. Il est
une sorte de thermomètre algébrique de la non-platitude de la variété :
– c'est le groupe trivial quand la variété est plate,
– plus la variété diffère (j'expliquerai en quel sens) d'une variété
plate, plus il est gros.
Tout groupe intermédiaire apparaissant comme groupe d'holonomie entre le
groupe trivial et le groupe maximal possible (le groupe orthogonal)
caractérise une géométrie particulière. Par exemple, le groupe unitaire
est un groupe d'holonomie, et caractérise les métriques kählériennes.
Déterminer quels groupes de Lie sont des groupes d'holonomie, et
déterminer quelles variétés correspondent à chacun d'eux, est pour
chaque groupe un gros travail. C'est aussi un technique de pêche pour
attraper des géométries nouvelles. L'histoire a commencé en 1952 avec
Berger et se poursuit jusqu'aujourd'hui.
Les métriques pseudo-riemanniennes, contrairement aux métriques
riemanniennes, peuvent admettre des groupes d'holonomie qui ne sont pas
semi-simples : c'est cette situation qui m'intéresse. Les commutants
sont en général dans ce cas. Je montre qu'ils constituent une famille
naturelle de groupes d'holonomie et décris à quelle géométrie cela
correspond. Notamment, une description locale très naturelle suit d'une
analogie avec la géométrie complexe : il apparaît des analogues des
fonctions holomorphes, de leur développement en série en entière, etc.
Charles BOUBEL
Les commutants d'endomorphismes-auto adjoints dans un groupe d'holonomie (pseudo-)riemannien sont eux-mêmes des groupes d'holonomie
Jeudi, 14 Mars, 2019 - 14:00
Résumé :
Institution de l'orateur :
Strasbourg
Thème de recherche :
Théorie spectrale et géométrie
Salle :
4