Charles Boubel

(travail avec Nicolas Juillet) Nous nous sommes posé la question (1) suivante : étant donnée une famille $(\mu_t)_t$ de mesures de probabilités sur R, indexée par un réel t et croissante pour l’ordre stochastique, existe-t-il un processus, c’est-à-dire une famille de variables aléatoires $(X_t)_t$, croissant (c’est-à-dire $X_s≤X_t$ si $s≤t$), tel que Loi$(X_t)=\mu_t$, et de plus markovien ? En 1972, Hans Kellerer avait répondu par l’affirmative à des questions semblables pour d’autres ordres que l’ordre stochastique : l’ordre convexe, ou l’ordre convexe croissant, $(X_t)_t$ devant être alors une (sous-)martingale. La réponse est également affirmative ; nous proposons une démonstration commune avec les deux cas déjà traités par Kellerer. Le processus $(X_t)_t$ répondant à (1) est bâti grâce à des limites de composées de couplages quantiles. Ceci nous a amené à la question (2) plus générale : étant donnée une famille $(\mu_t)_t$ quelconque, le processus quantile qui lui est associé peut-il être « rendu markovien » en un sens naturel qu’on précisera ? La réponse est encore positive, avec unicité du processus obtenu, que nous appelons le processus quantile-Markov. L’exposé se concentrera sur ce point. Enfin, quand la famille $(\mu_t)_t$ est convenablement régulière, le processus répondant à (2) fournit un transport optimal de marges $(\mu_t)_t$ vérifiant une propriété d’unicité, ce qui constitue un ajout à des résultats d’Ambrosio-Gigli-Savaré et Lisini.