Fathi Ben Aribi

Les torsions d'Alexander L² sont des invariants topologiques des 3-variétés compactes à bord torique définis en 2014 par J. Dubois, S. Friedl et W. Lück; ces invariants associent une classe de fonctions numériques réelles à une 3-variété donnée. Les torsions d'Alexander L² sont construites à partir de la structure de CW-complexe de la variété et de l'action naturelle de son groupe fondamental sur un espace de Hilbert de dimension infinie, à l'image des polynômes d'Alexander tordus, où la représentation du groupe fondamental est de dimension finie.

Dans le cas de l'extérieur d'un nœud, les torsions d'Alexander L² rejoignent l'invariant d'Alexander L² du nœud défini par W. Li et W. Zhang en 2006 ; cet invariant est construit à l'aide du calcul de Fox sur une présentation du groupe du nœud.

Dans mon exposé, je présenterai les liens entre ces deux types de constructions, puis je montrerai comment extraire certaines informations topologiques d'un nœud à partir de la valeur de son invariant d'Alexander L², malgré le fait que cet invariant est difficile à calculer explicitement. Notamment je montrerai que l'invariant d'Alexander L² caractérise le nœud trivial et la paire des nœuds de trèfle gauche et droit parmi tous les nœuds.