Problème de Plateau, systèmes fuchsiens et problème de Riemann-Hilbert

Le problème de Plateau est le suivant : montrer que toute courbe de Jordan de $R^3$ est le bord d'un disque minimal. Les premières résolutions générales (reconnues !) sont données au début des années 1930 par Douglas et Rado. Pourtant, en 1928, Garnier a proposé une résolution dans le cas d'un bord polygonal qui semble avoir été complètement oubliée. Sa démonstration, très différente de la méthode variationnelle, repose sur le fait qu'on peut associer une équation fuchsienne réelle à  toute surface minimale à  bord polygonal. La monodromie de cette équation est déterminée par les directions des côtés du bord polygonal. Pour résoudre le problème de Plateau, on est donc amené à  résoudre un problème de Riemann-Hilbert, et à  construire des déformations isomonodromiques d'équations fuchsiennes. Je vais présenter les grandes lignes de la démonstration de Garnier sous la forme plus achevée que j'ai proposée dans ma thèse. J'expliquerai ensuite brièvement comment généraliser l'approche de Garnier au cas où l'espace ambiant est l'espace de Minkowski, et enfin comment en déduire par approximation polygonale une résolution du problème de Plateau pour toute courbe de bord $C^2$ par morceaux (travail en cours en collaboration avec R. Jakob).