Pierre Portal

Quels espaces de données initiales $X_{p} \subset L^p(\mathbb{R}^{d})$ peut on utiliser pour obtenir une solution de l’équation des ondes telle que $u(t,.) \in L^{p}$ quand  $u(0,.) \in X_{p}, \partial_{t}u(0,.)=0$?

 

Une réponse classique est $X_{p}  = W^{(d-1)|1/p-1/2|,p}$. Le problème avec cette réponse, c’est que l’on perd de la régularité, i.e. $u(t,.) \in L^{p}$ mais $u(t,.) \not \in X_{p}$.

 

Dans cet exposé, on introduit un nouvel espace de données initiales $X_{p}$ qui contient $W^{(d-1)|1/p-1/2|,p}$, mais qui est invariant sous l’action du groupe des ondes. Plus généralement, cet espace s’avère être invariant sous l’action d’une vaste classe d’opérateurs intégraux de Fourier. On peut donc l’utiliser pour reprouver et géneraliser un résultat célèbre de Segger-Sogge-Stein sur le comportement des opérateurs intégraux de Fourier sur $L^p$.

 

Ce que l’on construit, c’est une théorie d’espaces de Hardy dont l’objectif est de jouer, pour les EDP hyperboliques de type ondes, le rôle des espaces de Hardy standards en EDP elliptiques et paraboliques. C’est conceptuellement possible parce que les opérateurs intégraux de Fourier, une fois considérés sur des espaces de fonctions sur l’espace des phases via des extensions par paquets d’ondes, ont un comportement diffusif (par rapport une métrique appropriée sur l’espace des phases).

 

Il s’agit d’un travail en commun avec Andrew Hassell et Jan Rozendaal (ANU), fortement inspiré par les idées de Hart Smith.