Olivier Graf

Les espaces-temps de Schwarzschild-anti-de Sitter sont les solutions stationnaires et à symétrie sphérique des équations d'Einstein à constante cosmologique négative. Ils contiennent une région trou noir et un bord anti-de Sitter à l'infini. Dans cet exposé, je présenterai une étude de la stabilité de ces solutions sous des perturbations de leurs données initiales préservant les conditions de bord anti-de Sitter. Depuis les travaux de Teukolsky et Chandrasekhar on sait que la linéarisation des équations d'Einstein autour de ce type de solutions est gouvernée par deux équations d'ondes découplées appelées équations de Regge-Wheeler. Je montrerai que les conditions de bord héritées par les quantités de Regge-Wheeler peuvent se découpler en une condition de type Dirichlet et une condition de type Robin d'ordre supérieur. Je montrerai que ces conditions de bord sont conservatives et permettent d'obtenir la décroissance d'une énergie coercive et le caractère borné des solutions. Des estimations de red-shift et de Carleman dépendant de la fréquence sphérique permettent d'améliorer ce résultat en une décroissance en 1/log(t). Réciproquement, je montrerai comment construire des solutions de type quasi-modes qui montrent que cette borne est optimale. Ceci est un travail en commun avec Gustav Holzegel.