Normalité de compactifications d'un groupe semi-simple dans un espace projectif simple

Donné un groupe semi-simple adjoint $G$ sur $\textbf{C}$ et un poids dominant $\lambda$, soit $X_\lambda $ l'adhérence de la $G\times G$-orbite de l'identité dans $\textbf{P}(\End(V(\lambda))$. Je donnerai des conditions nécessaire et suffisant sur le support de $\lambda$
afin que $X_\lambda$ soit normal, (respectivement lisse). J'ai prouvé ces conditions en collaboration avec P. Bravi, J. Gandini et A. Maffei.