Matthieu Leautaud

Le problème de prolongement unique local est le suivant : étant donnés un opérateur différentiel P et une hypersurface, on se demande si une fonction u peut être à la fois solution de Pu=0 et nulle d'un côté de l'hypersurface sans être identiquement nulle de l'autre. Deux résultats célèbres dans ce domaine sont le théorème d'Holmgren et celui d'Hörmander. Le premier suppose l'analyticité des coefficients de l'opérateur mais seulement une condition de non caractéristicité sur l'hypersurface. Le second au contraire autorise des opérateurs à coefficients relativement peu réguliers, mais nécessite une condition forte de pseudoconvexité sur l'hypersurface.Motivés par l'exemple de l'équation des ondes pour lequel aucun de ces deux résultats n'est vraiment satisfaisant, Tataru, Robbiano-Zuily et Hörmander ont démontré que le prolongement unique pouvait aussi avoir lieu dans des situations intermédiaires où les coefficients sont analytiques dans seulement certaines variables. En particulier, ils ont ainsi pu établir le prolongement unique pour l'équation des ondes à travers toute hypersurface non caractéristique pour une métrique non nécessairement analytique.Dans cet exposé, on décrira des résultats, obtenus en collaboration avec Camille Laurent, qui quantifient cette propriété de prolongement unique. On fournit des estimées de stabilité logarithmiques optimales (en général). Ces dernières permettent de donner des bornes a priori sur ce que Rauch et Taylor appellent la pénétration dans la zone d'ombre, ainsi qu'une estimée optimale du coût de la contrôlabilité approchée pour l'équation des ondes.