Les séries de Davenport

Les série de Davenport sont construites comme les séries
trigonométriques, en remplaçant l'exponentielle complexe par la fonction
``en dents de scie'' S(x) = x- [x] -1/2
(où [x] est la partie entière de x). Les premiers exemples de séries de
Davenport ont été proposés par Riemann dans le célèbre texte où est
définie l'intégrale ``de Riemann''. D'autres cas particuliers furent
considérés par Lebesgue, Hecke, Hardy, Littlewood et P. Lévy. Motivé par
des questions de théorie analytique des nombres, Davenport établit les
formules de passage générales entre ces séries et les séries
trigonométriques en 1937. L'étude de leur convergence (ponctuelle, ou
dans des espaces fonctionnels) se situe à un point de rencontre entre
approximation diophantienne, analyse harmonique et analyse fonctionnelle.
L'intérêt pour ces séries a été récemment ravivé par le fait qu'elles
fournissent des exemples simples de fonctions multifractales. Nous
donnerons un aperçu historique allant jusqu'aux tout récents travaux
concernant l'extension de ces séries en plusieurs variables, puis nous
mentionnerons quelques uns des nombreux problèmes ouverts.