Jean-Claude Picaud

Le dual unitaire $\hat{\Gamma}$ d'un groupe hyperbolique (au sens de Gromov) $\Gamma$ n'est paramétré par une structure borélienne que dans le cas trivial où $\Gamma$ est cyclique. A contrario, lorsque $\Gamma$ est non élémentaire, les questions qui se posent sont 1) construire des familles de représentations unitaires ou, à  défaut, hilbertiennes et si possible uniformément bornées 2) de comprendre les informations géométriques ou dynamiques que ces représentations contiennent.
S'agissant de la première question, la classification de $\widehat{SL(2,\mathbb R)}$ par Bargmann a inspiré des représentations de bord des groupes libres. Nous discutons de l'extension de ces constructions au cas d'un groupe hyperbolique non-élémentaire quelconque, et plus précisément nous montrons l'existence de séries complémentaires et discutons la question de savoir si elles sont unitarisables ou non. Pour cette famille, des relations asymptotiques de Schur sont établies, qui font apparaître l'opérateur de Riesz.