Guillaume Dumas

Vincent Lafforgue a montré que tout coefficient matriciel SO(2)-fini d'une représentation (unitaire) de SO(3) sur un espace de Hilbert est localement 1/2-höldérien, sauf en certains points singuliers. Ce résultat est un ingrédient important dans la preuve de la propriété (T) renforcée pour SL(3,R) et dans plusieurs avancées récentes en algèbre d'opérateurs. En effet, il permet d'obtenir au niveau de SL(3,R) des estimées sur des représentations qui ne sont plus forcément unitaires.
Dans cet exposé, je présenterai comment ce résultat de régularité peut être interprété en termes de paires de Gelfand et de fonctions sphériques. Avec cette perspective, je montrerai qu'on peut le généraliser à tous les groupes de Lie semi-simples en analysant le comportement asymptotique de ces fonctions. Grâce à la structure des groupes semi-simples, on a dans le cas non-compact une représentation intégrale aisée à manipuler. En revanche, le cas compact se révèle plus délicat et demande des outils issus de l’analyse complexe.