Développements en base non-entière, irrationalité et fractals

Les beta-développements sont des prolongements naturels des développements
de réels en base entière :
il s'agit d'écrire un réel positif en fonction d'une base beta quelconque,
à  l'aide d'un algorithme glouton.
Différentes questions ont été traitées sur ces écritures : comment
caractériser les différentes écritures (par
un automate), en fonction de beta ? Quels réels ont une écriture
ultimement périodiques ? Quelles
sont les écritures purement périodiques ? En particulier, lorsque beta est
un nombre de Pisot quadratique,
Schmidt a mis en évidence une dichotomie forte : soit tous les rationnels
dans [0,1] ont une écriture purement
périodique, soit aucun rationnel n'est purement périodique. Dans cet
exposé, nous expliquerons pourquoi
cette dichotomie existe seulement partiellement dans le cas cubique, en
faisant appel à  des approches
de systèmes dynamiques et de géométrie de fractals.