Conjugaison et suspensions : le cas atoroidal dans Out(F_n)

Le problème de conjugaison dans un groupe demande une méthode pour savoir si deux éléments donnés sont conjugués.
Dans un groupe d'automorphisme Aut(F), ou Out(F), cela revient presque ê  demander si deux produits semi-directs de F par Z sont isomorphes en préservant F. Dans cet exposé, on regarde si l'on peut dire quelque chose en supposant que les produits semi-direct sont hyperboliques, car alors on sait résoudre le problème d'isomorphisme. La contrainte de préservation de F n'est pas du tout rationnelle ou convexe. Ainsi cette variante ê  l'air dure... mais en fait c'est facile !
Comme conséquence, on trouve une solution au problème de conjugaison dans Out(F_n) (oê¹ F_n est libre de rang n) pour les automorphismes dits atoroidaux. (En 1999, Lustig a annoncé une solution au problème de conjugaison dans tout Out(F_n), mais le détail n'est pas disponible, et repose sur une toute autre stratégie. Celle présentée dans l'exposée fait, selon moi, figure d'alternative pittoresque.)
La méthode semble permettre de traiter une bonne partie des automorphismes exponentiels de Out(F_n), mais un cas semble résister encore...