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Soit $T$ un automorphisme d'un espace probabilisé $(G,\mathcal{G},Q)$.
On considère une partie finie $F$ de $\mathbf{Z}$, une loi de probabilité $\mu$ sur $F$ chargeant tous les points. On note $d$ le PGCD des différences $k-\ell$ pour $k$ et $\ell$ dans $F$.
Soit $S$ le décalage sur $F^\mathbf{N}$ défini par $S(f)(n) = f(n+1)$. La transformation $R$ de $F^\mathbf{N} \times G$ dans lui-même définie par $R(f,g) = (S(f),T^{f(0)}g)$ préserve la mesure $\pi := \mu^{\otimes \mathbf{Z}} \otimes Q$. La tribu sous-jacente est $\mathcal{E} := \mathcal{P}(F)^{\otimes \mathbf{Z}} \otimes \mathcal{G}$
On démontre que $R$ est exacte (autrement dit l'intersection des tribus $R^{-n}\mathcal{E}$ est triviale pour $\pi$) si et seulement si $T^d$ est ergodique. Ce résultat généralise un théorème de Meilijson obtenu en 1974.
