Christophe Leuridan

On s'intéresse à des filtrations $(\mathcal{F}_n)_{n \le 0}$ indexées par les entiers négatifs. Lorsque pour tout $n \le 0$, on a $\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n-1} \vee \sigma(\xi_n)$, où $\xi_n$ est une variable aléatoire indépendante de $\mathcal{F}_{n-1}$, la filtration est dyadique. La suite $(\xi_n)_{n \le 0}$, qui fournit à chaque instant l'information nouvelle s'appelle suite d'innovations. 

On se demande alors si la filtration $(\mathcal{F}_n)_{n \le 0}$ est de type produit, c'est-à-dire peut être engendrée par une suite de variables aléatoires indépendantes. Une condition nécessaire est que la tribu asymptotique $\mathcal{F}_{-\infty}$ soit triviale, en vertu de la loi du zéro-un de Kolmogorov. Cette condition n'est cependant pas suffisante, et plusieurs situations surprenantes peuvent survenir.

Par exemple, la filtration naturelle d'une marche aléatoire stationnaire simple sur $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ indexée par les entiers négatifs) avec pas valant $\alpha$ avec probabilité $1/2$ et $-\alpha$ avec probabilité $1/2$ est dyadique et la tribu $\mathcal{F}_{-\infty}$ est triviale. Mais la suite naturelle d'innovations qui indique à chaque instant si l'on fait un pas de $\alpha$ ou de $-\alpha$ engendre une filtration strictement plus petite. Néanmoins, il est possible de construire une autre suite d'innovations qui engendre la filtration de la marche.

Dans d'autres cas, au contraire, il est possible de montrer que la filtration ne peut pas être engendrée par une suite de variables aléatoires indépendantes.

Les critères de Vershik sont un outil théorique permettant de déterminer si une filtration est de type produit. L'objet de l'exposé de présenter ces outils, de les appliquer à la situation simple de la marche aléatoire sur le cercle. Un exposé ultérieur pourra éventuellement montrer leur application à une situation plus compliquée.