Ana Rechtman

(Exposé dans le cadre de la rencontre interthème du jeudi 13 mai autour du mot "équidistribution".)

Dans cet exposé l'équidistribution apparaitra à la fin et comme hypothèse...

Je vais parler de flots sur des variétés fermées de dimension 3, sans points fixes. La recherche des sections de Birkhoff commence avec Poincaré: il introduit une section de Birkhoff annulaire dans l'étude du problème restreint à trois corps en mécanique céleste. Trouver la section de Birkhoff que Poincaré décrit, est équivalent à trouver une section de Birkhoff pour les flots géodésiques sur les sphères de dimension 2 à courbure positive. Birkhoff développe des méthodes pour construire de telles sections pour d'autres flots géodésiques sur les surfaces.

Une section de Birkhoff permet d'étudier la dynamique du flot en dimension 3 à partir d'une surface (à bord) et d'un homéomorphisme de la surface.

Le problème étudié par Poincaré est un système hamiltonien, et nous savons maintenant que jusqu'à la première valeur critique, les flots sur chaque surface de niveaux sont des flots de Reeb.

Dans la suite de l'exposé je vais m'intéresser aux flots de Reeb. Grâce à l'équidistribution des orbites périodiques, nous sommes arrivés à construire des sections de Birkhoff pour un ensemble dense des flots de Reeb.