Racines et fonctions symétriques

Supposons donné un polynôme à coefficients réels. Pouvons-nous dire (algorithmiquement) combien de racines complexes a-t-il ?
Supposons maintenant que p soit un nombre premier de Fermat (i.e. tel que p = 2^{2^n}+1 soit un nombre premier). Existe-t-il un nombre x tel que le carré de x soit congru à 3, modulo p ?
Nous donnerons une introduction au monde fascinant des fonctions symétriques, montrant en particulier comme ils permettent de donner de réponses élémentaires et très élégantes aux questions posées.