Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite.
On considère une suite (un) définie sur ℕ dont aucun terme
n’est nul. On définit alors la suite (vn) sur ℕ par
vn=−2/un.
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer
une démonstration ou un contre-exemple pour la réponse indiquée.
1/ Si (un) est convergente alors (vn) est convergente.
2/ Si (un) est minorée par 2 alors (vn) est minorée par -1.
3/ Si (un) est décroissante alors (vn) est croissante.
4/ Si (un) est divergente alors (vn) est converge vers 0.
On tape :
v(n):=-2/u(n)
1/ On tape :
u(n):=(n+1)/n
limit(u(n),n=+infinity) et on obtient 1
limit(v(n),n=+infinity) et on obtient -2
u(n):=n+1/n
limit(u(n),n=+infinity) et on obtient +infinity
limit(v(n),n=+infinity) et on obtient 0
u(n):=1/n
limit(u(n),n=+infinity) et on obtient 0
limit(v(n),n=+infinity) et on obtient -infinity
2/ On tape :
u(n):=2+1/n
normal(v(n)+1) et on obtient 1/(2*n+1)
La proposition semble vraie.
3/ On tape :
u(n):=1/n
normal(u(n+1)-u(n)) et on obtient 1/(-n^2-n)
normal(v(n+1)-v(n)) et on obtient -2
4/ On tape :
u(n):=(-1)^n
limit(u(n),n=+infinity)
On obtient "Error: Bad Argument Value"
On tape :
limit(v(n),n=+infinity)
On obtient "Error: Bad Argument Value"
1/ est faux, on prend u(n):=1/n
2/ est vrai car si :
u(n) ≥ 2 alors 1/u(n) ≤ 1/2 car
u(n) ≥ 0
donc v(n)=-2/u(n) ≥ -2/2=-1
3/ est faux, on prend u(n):=1/n
4/ est faux, on prend u(n):=(-1)n
Dans le plan orienté, on considère les points O et A fixés et
distincts, le cercle C de diamètre [OA], un point M variable
appartenant au cercle C et distinct des points O et A, ainsi
que les carrés de sens direct MAPN et MKLO.
On munit le plan complexe d’un repère orthonormal direct de sorte que les
affixes des points O et A soient respectivement 0 et 1.
On note k,l,m,n,p les affixes respectives des points K,L,M,N,M,P.
1/ Démontrer que, quel que soit le point M choisi sur le cercle
C, on a |m−1/2|=1/2.
2/ Établir les relations suivantes :
l=im et p=−im+1+i.
On admettra que l’on a également :
n=(1−i)m+i et k=(1+i)m
3/ a) Démontrer que le milieu Ω du segment [PL] est un point
indépendant de la position du point M sur le cercle C.
b) Démontrer que le point Ω appartient
au cercle C et préciser sa position sur ce cercle.
4/ a) Calculer la distance KN et démontrer que cette distance est
constante.
b) Quelle est la nature du triangle Ω NK ?
5/ Démontrer que le point N appartient à un cercle fixe, indépendant
du point M, dont on déterminera le centre et le rayon.
O:=point(0); A:=point(1); C:=cercle(0,A); M:=element(C); carre(M,A,P,N); carre(0,M,K,L); R:=milieu(L,P); longueur(K,N); est_rectangle(R,N,K); est_isocele(R,N,K); NN:=N; lieu(NN,M,affichage=1);
Attention
On est obligé de renommer le point N en NN (NN:=N;) car il
faut que le point dont on cherche le lieu soit défini par une affectation
pour que la fonction lieu de Xcas fonctionne.
1/ Soit a l’affixe de A : on a donc a=1.
Soit B le milieu de [OA] : B a donc pour affixe b=1/2.
M est donc sur le cercle de centre B et de rayon 1/2 donc:
MB=1/2 donc |m−b|=1/2 ou encore
|m−1/2|=1/2.
2/ Le point L se déduit de M dans la rotation de centre O et d’angle
π/2 donc l=im.
Le point P se déduit de M dans la rotation de centre A et d’angle
−π/2 donc p−a=−i(m−a), ou encore p−1=−i(m−1) donc
p=−im+i+1.
On a également :
Le point N se déduit de A dans la rotation de centre M et d’angle
π/2 donc n−m=i(a−m) ou encore n=ia+m−im=(1−i)m+i.
Le point K se déduit de 0 dans la rotation de centre M et d’angle
−π/2 donc k−m=−i(−m) ou encore k=(1+i)m.
3/ a) Soit ω l’affixe de Ω. On a :
ω=(p+l)/2=(−im+i+1+im)/2=(1+i)/2
Le point Ω est donc indépendant de la position de M sur le cercle
C.
b) ω−b=ω−1/2=i/2 donc |ω−b|=1/2 ce qui
prouve que Ω est sur le cercle C
4/ a) NK=|k−n|=|(1+i)m−(1−i)m−i|=|2im−i|=|2i(m−1/2)|=2*1/2=1 puisque |2i|=2 et
que |m−1/2|=1/2.
b) On a :
Le vecteur Ω N a pour affixe :
n−ω=(1−i)m+i−i/2−1/2=(1−i)m+i/2−1/2=(1−i)(m−1/2)
Le vecteur Ω K a pour affixe :
k−ω=(1+i)m−i/2−1/2=(1+i)m−i/2−1/2=(1+i)(m−1/2)
Puisque (1−i)i=1+i on en déduit que le vecteur Ω K se déduit
du vecteur Ω N par rotation d’angle π/2 et donc que le point
K se déduit de N par rotation de centre Ω et d’angle π/2.
Le triangle Ω NK est donc isocèle rectangle.
5/ On a Ω N=|n−ω|=|(1−i)(m−1/2)|=√2/2 puisque
|1−i|=√2 et que |m−1/2|=1/2.
Donc N est sur le cercle de centre Ω et de rayon √2/2.
Un enfant joue avec 20 billes : 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 billes rouges
et 3 billes vertes dans une boite cubique et 3 billes rouges
et 4 billes vertes dans une boite cylindrique.
1/ Dans un premier jeu, il choisit simultanément 3 billes au hasard dans la
boite cubique et regarde combien de billes rouges il a choisies. On appelle X
la variable aléatoire correspondant au nombres de billes rouges choisies.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Calculer l’espérance mathématique de X
2/ Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l’enfant choisisse
d’abord au hasard une des 2 boites, puis qu’il prenne alors une bille,
toujours au hasard, dans la boite choisie.
On considère les événements suivants :
C1 : l’enfant choisi la boite cubique,
C2 : l’enfant choisi la boite cylindrique,
R : l’enfant prend une bille rouge,
V : l’enfant prend une bille verte.
a) Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à ce
deuxième jeu.
b) Calculer la probabilité de l’événement R.
c) Sachant que l’enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probanilité
qu’elle provienne de la boite cubique ?
3/ L’enfant reproduit n fois de suite son deuxième jeu, en remettant
à chaque fois la bille tirée à sa place.
a) Exprimer, en fonction de n, la probabilité pn que l’enfant ait pris
au moins une bille rouge au cours de ses n choix.
b) Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle pn ≥ 0.99.
1/ On suppose que les billes rouges sont numérotées de 0 à 9 et que les
vertes sont numérotées de 10 à 12.
On simule un choix de la question 1/ avec choix1(), la loi de X en
faisant "beaucoup de tirages" avec loiX(n)
où n représente un grand nombre de tirages et l’espérance de
X avec EX(n) où n représente aussi un grand nombre de tirages.
On peut écrire pour simuler le choix sans remise de 3 billes parmi 13
(on numérote les billes de 0 à 12 et on recommence si on trouve une bille
déjà tirée) :
choix11():={
local b1,b2,b3;
b1:=rand(13);
b2:=rand(13);
while (b1==b2) {b2:=rand(13);}
b3:=rand(13);
while (b1==b3 || b2==b3) {b3:=rand(13);}
return sort([b1,b2,b3]);
};
ou encore si on supprime les numéros tirés au fur et à mesure :
choix12():={
local b,j,B,R,n;
B:=makelist(id,0,12);
R:=[];
n:=13;
for (j:=0;j<3;j++) {
b:=rand(n);
R:=append(R,B[b])
B:=suppress(B,b);
n:=n-1;
}
return sort(R);
}
ou encore si on ne veut pas mettre un numéro aux billes :
choix13():={
local b,j,B,R,n;
//B:=concat(makelist(x->"R",0,9),makelist(x->"V",0,2));
B:=makelist(x->ifte(x<10,"R","V"),0,12);
R:=[];
n:=13;
for (j:=0;j<3;j++) {
b:=rand(n);
R:=append(R,B[b])
B:=suppress(B,b);
n:=n-1;
}
return R;
}
On tape :
choix11() ou choix12()
On obtient par exemple :
[5,8,11]
On tape :
choix13()
On obtient par exemple :
[R,R,V]
ce qui correspond à 2 billes rouges (numéros 5 et 8) et 1 bille verte
(numéro 11).
Puis on définit la loi de X en utilisant choix11() ou
choix12():
loiX(n):={
local ch,lX,j;
lX:=makelist(0,0,3);
for (j:=0;j<n;j++) {
ch:=count_inf(10,choix11());
lX[ch]:=lX[ch]+1;};
return lX/n;
};
EX(n):=sum(loiX(n)[k]*k,k,0,3);
On tape :
loiX(1000)
On obtient par exemple :
[1/500,107/1000,23/50,431/1000]=[0.002,0.107,0.460,0.431]
On tape :
EX(1000)
On obtient par exemple :
288/125=2.304
Ou définit la loi de X en utilisant choix13():
loi13X(n):={
local ch,lX,j;
lX:=makelist(0,0,3);
for (j:=0;j<n;j++) {
ch:=count_eq("R",choix13());
lX[ch]:=lX[ch]+1;};
return lX/n;
};
E13X(n):=sum(loi13X(n)[k]*k,k,0,3);
On tape :
loi13X(1000)
On obtient par exemple :
[7/1000,99/1000,489/1000,81/200]=[0.007,0.099,0.489,0.405]
On tape :
E13X(1000)
On obtient par exemple :
2369/1000=2.369
2/ On suppose que la boite cubique a comme numéro 1 et que la boite
cylindrique a comme numéro 2.
On suppose que dans la boite cubique, les billes rouges sont numérotées
de 0 à 9 et que les vertes sont numérotées de 10 à 12 et que dans la
boite cylindrique, les billes rouges sont numérotées
de 0 à 2 et que les vertes sont numérotées de 3 à 6.
On simule un choix de la question 2/ avec choix2().
On simule les résultats obtenus lorsque l’on effectue n fois le deuxième
jeu avec choix3(n).
On simule la probabilité d’obtenir une bille rouge avec le deuxième
jeu avec probR(n) en prenant une grande valeur de n.
Attention
Lorsque l”on veut exploiter les résultats obtenus par choix2() ou par
choix3(n) il faut préserver le résultat obtenu dans une variable car
les valeurs obtenues par ces fonctions ne sont pas toujours les mêmes!!!
Par exemple :
L:=choix3(1000); ou choix:=choix2()
car L[0]+L[2]!=choix3(1000)[0]+choix3(1000)[1] ou
choix[0]+choix[1]!=choix2()[0]+choix3()[1]
choix2():={
local c,b,nr1,nr2,nv1,nv2;
c:=rand(2)+1;
nr1:=0;
nr2:=0;
nv1:=0;
nv2:=0;
if (c==1){
b:=rand(13);
if (b<10) {
nr1:=nr1+1;
} else {
nv1:=nv1+1;
}
} else {
b:=rand(7);
if (b<3) {
nr2:=nr2+1;
} else {
nv2:=nv2+1;
}
}
return [nr1,nv1,nr2,nv2];
};
choix3(n):={
local rep,k;
rep:=[0,0,0,0];
for (k:=0;k<n;k++) {
rep:=choix2()+rep;
};
return rep;
};
probR(n):={
local L;
L:=choix3(n);
return (L[0]+L[2])/n;
};
probC1siR(n):={
local nrc1,nr,choix,k;
nrc1:=0;
nr:=0
for (k:=0;k<n;k++) {
choix:=choix2();
if (choix[0]+choix[2]==1) {nr:=nr+1;
if (choix[0]==1) nrc1:=nrc1+1;
}
}
return [nr,nrc1/nr];
};
On tape :
choix2()
On obtient par exemple :
[0,1,0,0]
ce qui veut dire que l’enfant a choisi d’abord la boite cubique, puis une bille
verte dans cette boite.
On tape :
choix3(1000)
On obtient par exemple :
[368,109,218,305]
ce qui veut dire que l’enfant a choisi d’abord 368+109=477 fois la boite
cubique, en prenant ensuite 368 fois une bille rouge et 109 fois une bille
verte dans cette boite et 218+305=523 fois la boite
cylindrique, en prenant ensuite 218 fois une bille rouge et 305 fois une bille
verte dans cette boite.
On tape :
probR(1000)
On obtient par exemple :
609/1000=0.609
ce qui veut dire que sur 1000 tirages, l’enfant a obtenu 609 fois une bille
rouge.
On tape :
probC1siR(1000)
On obtient par exemple :
[593,366/593] ≃ [593.0,0.6172
ce qui veut dire que sur 1000 tirages, la bille rouge a été obtebue 593
fois et en provenant 366 fois de la boite cubique.
On tape :
probC1siR(1000)
On obtient par exemple :
[624,131/208] ≃ [[624.0,0.6298]
ce qui veut dire que sur 1000 tirages, la bille rouge a été obtebue 624
fois et en provenant 393 fois de la boite cubique.
3/ Pour simuler pn, on effectue m fois n tirages avec m grand.
pn(n,m):={
local L,rep,k;
rep:=0;
for (k:=0;k<m;k++) {
L:=choix3(n);
if ((L[0]+L[2])>0) {
rep:=rep+1;}
}
return rep/m;
}
On tape si l’enfant fait 5 tirages de suite au deuxième jeu :
pn(5,1000)
On obtient par exemple :
987/1000
On tape si l’enfant fait 6 tirages de suite au deuxième jeu :
pn(6,1000)
On obtient par exemple :
997/1000
1/ a) Si parmi les 3 billes choisies, on a obtenu k billes rouges et
3−k billes vertes, on a :
P(X=k)=p(k)=comb(10,k)*comb(3,3-k)/comb(13,3)
On tape :
p(k):=comb(10,k)*comb(3,3-k)/comb(13,3)
p(0) et on obtient 1/286 ≃ 0.0035
p(1) et on obtient 15/143≃ 0.1049
p(2) et on obtient 135/286≃ 0.4720
p(3) et on obtient 60/143≃ 0.4196
On a bien :
p(0)+p(1)+p(2)+3*p(3)=(1+30+135+120)/286=1
b) E(X)=p(1)+2*p(2)+3*p(3)
On tape :
p(1)+2*p(2)+3*p(3) et on obtient 30/13=2.307...
2/ a) On fait un arbre pondéré :
|
b) On a :
P(R)=P(C1 ∩ R)+P(C2 ∩ R)=5/13 +3/14=109/182
≃ 0.5989
c) On veut calculer PR(C1).
On a :
PR(C1)= P(C1 ∩ R)/P(R)=5/13/109/182=70/109≃ 0.6422
3/ Si qn est la probabilité de n’avoir pris aucune bille rouge au cours de
ses n choix, on a pn=1−qn.
On a :
qn=P(V)n=(1−P(R))n=(73/182)n
donc ;
pn=1−(73/182)n
b) On cherche les valeurs de n pour avoir pn ≥ 0.99 ou encore pour
avoir :
| 1−pn=qn =( |
| )n ≤ 0.01 |
On a :
(73/182)n ≤ 0.01 est équvalent à :
n ≥ ln(0.01)/(ln(73)−ln(182)) ≃ 5.04097648645
Donc la plus petite valeur de n pour laquelle pn ≥ 0.99 est n=6.
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=3ex/4/2+ex/4.
a) Démontrer que f(x)=3/1+2e−x/4
b) Étudier les limites de la fonction f en +∞ et en −∞.
c) Étudier les vatiations de la fonction f.
1/ On a étudié en laboratoire l’évolution d’une population de petits rongeurs. La taille de la population au temps t, est notée g(t). On définit ainsi une fonction g de l’intervalle [0;+∞[ dans ℝ. La variable réelle t désigne le temps exprimé en années. L’unité choisie pour g(t) est la centaine d’individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour g une solution sur l’intervalle [0;+∞[, de l’équation différentielle (E1) : y′=y/4.
a) Résoudre l’équation différentielle (E1).
b) Déterminer l’expression g(t) lorsque, à la date t=0, la population comprend 100 rongeurs, c’est à dire g(0)=1.
c) Après combien d’années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs
pour la première fois ?
2/ En réalité, dans un secteur observé d’une région donnée, un
prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de
rongeurs vivants au temps t (exprimé en années) dans cette région, et
on admet que la fonction u ainsi définie, satisfait aux conditions :
| (E2): | ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ |
|
où u′ désigne la fonction dérivée de u.
a) On suppose que, pour tout réel positif t, on a u(t) > 0. On considère, sur l’intervalle [0;+∞[, la fonction h définie par h=1/u. Démontrer que la fonction u satisfait aux conditions (E2) si et seulement si la fonction h satisfait aux conditions :
| (E3): | ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ |
|
où h′ désigne la fonction dérivée de h.
b) Donner les solutions de l’équation différentielle y′=−y/4+1/12 et en déduire l’expression de la fonction h, puis celle de la fonction u.
c) Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque t tend vers +∞ ?
1/ a) La fonction f est définie sur ℝ car
2+ex/4 ≠ 0 pour tout x dans ℝ.
On a pour tout x dans ℝ, ex/4=1/e−x/4 donc :
f(x)=3*ex/4/2+ex/4=3/e−x/4*(2+ex/4)=3/2e−x/4+1.
Ou encore on tape :
simplify(3*e^(x/4)/(2+e^(x/4))-3/(1+2*e^(-x/4)))
On obtient :
0
b) On tape :
limit(3/(1+2*e^(-x/4)),x=+infinity)
On obtient :
3
En effet quand x tend vers +∞, exp(−x/4) tend vers 0, donc
f(x)=3/2e−x/4+1 tend vers 3.
On tape :
limit(3/(1+2*e^(-x/4)),x=-infinity)
On obtient :
0
En effet quand x tend vers −∞, exp(−x/4) tend vers +∞, donc
f(x)=3/2e−x/4+1 tend vers 0.
c) On tape :
f(x):=3/(1+2*e^(-x/4))
simplify(diff(f(x)))
On obtient :
(3*exp(-(x/4)))/(8*(exp(-(x/4)))^2+8*exp(-(x/4))+2)
On tape :
factor(ans())
On obtient :
(3*exp(-(x/4)))/(2*(2*exp(-(x/4))+1)^2)
La dérivée étant toujours positive la fonction f est donc croissante
de 0 à 3.
1/ a) La solution générale de l’équation différentielle
(E1) y′=y/4 est :
y(t)=C*exp(t/4) où C est une
constante arbritaire.
On tape :
desolve(y’=y/4,y)
On obtient :
c_0/exp(-x/4)
On tape :
desolve(diff(y(t),t)=y(t)/4,t,y)
On obtient :
c_0/exp(-t/4)
b) g est la solution de (E1) qui vérifie g(0)=1 donc on a
g(t)=C*exp(t/4) et g(0)=1 donc C=g(0)=1. La taille de la population au
temps t est donc :
g(t)=exp(t/4).
On tape :
desolve([y’=y/4,y(0)=1],y)
On obtient :
1/exp(-x/4)
On tape :
desolve([diff(y(t),t)=y(t)/4,y(0)=1],t,y)
On obtient :
1/exp(-t/4)
c) On veut savoir quand g(t)≥ 300.
On résout :
exp(t/4)≥ 300 qui est équivalent à t ≥ 4*ln(300)≃ 22.8
La population dépassera 300 rongeurs au bout de 23 années.
On tape :
solve(exp(t/4)>=300,t)
On obtient :
[t>=(4*log(300))]
On tape :
solve(exp(t/4)>=300.0,t)
On obtient :
[t>=22.8151298986]
2/ a) On a, pour tout réel t positif :
h(t)=1/u(t) donc h′(t)=−u′(t)/u(t)2 (puisque u(t)≠ 0)
u satisfait à E2 si et seulement si
u′(t)/u(t)2=1/(4*u(t))−1/12 et u(0)=1 (puisque u(t)≠ 0)
ce qui est équivalent à
h′(t)=−u′(t)/u(t)2=−1/4*h(t)+1/12 et h(0)=1 (puisque u(t)≠ 0)
b) Les solutions de l’équation différentielle
y′=−y/4+1/12 sont obtenus en ajoutant aux
solutions de l’équation différentielle
y′=−y/4 une solution particulière de l’équation
différentielle y′=−y/4+1/12.
Les solutions de l’équation différentielle
y′=−y/4 sont y(t)=Kexp(−t/4) où K est une
constante arbitraire.
Une solution particulière de l’équation
différentielle y′=−y/4+1/12 est y(t)=1/3
Les solutions de l’équation différentielle
y′=−y/4+1/12 sont donc :
y(t)=Kexp(−t/4)+1/3.
On en déduit, puisque h vérifie (E3), que :
h(t)= Kexp(−t/4)+1/3 et h(0)=1 donc on a K=2/3 et
h(t)= 2/3*exp(−t/4)+1/3=(1+2exp(−t/4))/3 et donc
u(t)=3/(2+exp(−t/4))=f(t)
On a donc, pour tout réel t positif :
u(t)=f(t)
Avec Xcas, on tape :
desolve(y’=-y/4+1/12,y)
On obtient :
(exp(x/4)/(12/4)+c_0)/(exp(x/4))
On tape :
desolve([diff(y(t),t)=-y(t)/4+1/12,y(0)=1],t,y)
On obtient :
((exp(t/4)*4)/12+2/3)/(exp(t/4))
On tape :
normal(inv(((exp(t/4)*4)/12+2/3)/(exp(t/4))))
On obtient :
(3*exp(t/4))/(exp(t/4)+2)
c) Lorsque t tend vers +∞, la taille de la population augmente et tend vers 300 rongeurs puisque f tend vers 3 lorsque t tend vers +∞.
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