Chapitre 11  Le Bac Mathématiques 2010

11.1  EXERCICE 1 : (6 points)

Commun à tous les candidats

11.1.1  L’énoncé

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie A :
On considère l’équation différentielle (E) : y′+y=e^−x

1. Montrer que la fonction u définie sur l’ensemble des nombres réels ℝ par u(x)=xe^−x est une solution de l’équation différentielle (E)
2. On considère l’équation différentielle (E′) : y′+y=0. Résoudre l’équation différentielle (E′).
3. Soit v une fonction définie et dérivable sur ℝ. Montrer que la fonction v est une solution de l’équation différentielle (E) si et seulement si la fonction v−u est solution de l’équation différentielle (E′).
4. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E).
5. Déterminer l’unique solution g de l’équation différentielle (E) telle que g(0)=2.

. Partie B :
On considère la fonction f_k définie sur l’ensemble ℝ des nombres réels par f_k(x)=(x+k)e^−x où k est un nombre réel donné.
On note C_k la courbe représentative de la fonction f_k dans un repère orthogonal.

1. Montrer que la fonction f_k admet un maximum en x_k=1−k.
2. On note M_k le point de la courbe C_k d’abscisse 1−k. Montrer que le point M_k appartient à la courbe Γ d’équation y=e^−x.
3. Sur le graphique ci-dessous (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais l’unité sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n’apparaissent pas. Sur ce graphique, on a tracé deux courbes :
   • • la courbe d’équation y=e^−x ;
   • • la courbe C_k d’équation y=(x+k)e^−x pour un certain nombre réel k donné.
   
   • a) Identifier les courbes et les nommer sur l’annexe 1 (à rendre avec la copie).
   • b) En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel k correspondante ainsi que l’unité graphique sur chacun des axes.
4. À l’aide d’une intégration par parties, calculer ∫₀¹(x+2)e^−xdx.
   Donner une interprétation graphique de cette intégrale.

11.1.2  Le corrigé avec Xcas

Partie A

1. On tape :
   u(x):=x*exp(-x)
   normal(diff(u(x))+u(x))
   On obtient :
   exp(-x) Donc u′(x)+u(x)=exp(−x) ce qui veut dire que u(x) est une solution de l’équation différentielle (E) (y′+y=e^−x).
2. On tape :
   desolve(y’+y)
   On obtient :
   c_0*exp(-x) Donc (E′) (y′+y=0) a comme solution y(x)= c₀1/exp(x).
3. On tape :
   normal(diff(v(x)-u(x))+v(x)-u(x))
   On obtient :
   diff(v(x),x)-exp(-x)+v(x)
   Donc v′(x)−u′(x)+v(x)−u(x)+0 est équivalent à v′(x)+v(x)=exp(−x).
   Cela veut dire :
   u++v est solution de (E′) est équivalent à v est solution de (E)
4. On tape :
   desolve(y’+y=exp(-x))
   On obtient :
   c_0*exp(-x)+x*exp(-x)
   c’est à dire la somme de u(x) et de la solution générale de y′+y=0.
   Donc (E) a comme solution y(x)= u(x)+c₀1/exp(x).
5. On tape :
   desolve([y’+y=exp(-x),y(0)=2],y)
   On obtient :
   [2*exp(-x)+x*exp(-x)]
   ou bien
   On tape :
   solve(c_0*exp(0)=2,c_0)
   On obtient :
   [2]
   Donc l’unique solution g de (E) (y′+y=e^−x) telle que g(0)=2 est la fonction g(x)=(x+2)/exp(x)=(x+2)e^−x.

Partie B

1. On tape :
   f(x,k):=(x+k)*exp(-x)
   factor(diff(f(x,k),x))
   On obtient :
   (-x-k+1)*exp(-x)
   Donc f a un maximum en x=1−k car −x+1−k>0 si x<1−k.
2. On tape :
   normal(f(1-k,k)
   On obtient :
   exp(k-1)
   Donc M_k est sur C_k et sur Γ car ses coordonnées vérifient :
   y_k=exp(−x_k)
3. • a) Identifier les courbes et les nommer sur l’annexe 1 (à rendre avec la copie).
   • b) En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel k correspondante ainsi que l’unité graphique sur chacun des axes.
   On reconnait facilement la courbe y=e^−x car la fonction e^−x est décroissante et n’admet pas de maximum. De plus pour cette courbe passe par le point (0,1) donc on en déduit l’unité sur l’axe des y. La courbe y=(x+k)e^−x coupe l’axe des y au point (0,k) et l’axe des x au point (−k,0). Or sur le dessin cette courbe passe par le point (0,2). Donc on en déduit que k=2. On trouve ainsi les unités sur l’axe des x : on place x=−k=−2 et on vérifie que pour x=1−k=−1 la courbe y=(x+k)e^−x admet un maximum qui se trouve sur la courbe y=e^−x.

   

4. On tape :
   int(f(x,2),x=0..2)
   On obtient :
   -5*exp(-2)+3
   ou bien, on tape :
   ibpu(f(x,2),x+2,x,0,2)
   On obtient :
   [-4*exp(-2)+2,exp(-x)]
   on tape :
   normal(ibpu([-4*exp(-2)+2,exp(-x)],0,x,0,2))
   On obtient :
   -5*exp(-2)+3

11.2  EXERCICE 2 : (5 points)

Commun à tous les candidats

11.2.1  L’énoncé

1. Restitution organisée de connaissances.
   Démontrer à l’aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si (u_n) et (v_n) sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.
   Définition : deux suites sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est décroissante et la différence des deux converge vers 0.

   Propriété 1 : si deux suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes avec (u_n) croissante et (v_n) décroissante alors, pour tout entier naturel n, v_n > u_n .

   Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.
   Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

2. Dans les cas suivants, les suites (u_n) et (v_n) ont-elles la même limite ? Sont-elles adjacentes ? Justifier les réponses.
   • a) u_n=1−10⁻ⁿ et v_n=1+10⁻ⁿ ;
   • b) u_n=ln(n+1) et v=ln(n+1)+1/n ;
   • c) u_n=1−1/n et v_n=1+(−1)ⁿ/n .
3. On considère un nombre réel a positif et les suites (u_n) et (v_n) définies pour tout nombre entier naturel n non nul par :
   u_n=1−1/n et v_n=ln(a+1/n)
   . Existe-t-il une valeur de a telle que les suites soient adjacentes ?

11.2.2  Le corrigé avec Xcas

1. • a) u_n=1−10⁻ⁿ et v_n=1+10⁻ⁿ
     On a :
     u_n+1−u_n=1−10⁻ⁿ⁻¹−1+10⁻ⁿ=10⁻ⁿ(1−1/10)>0
     Donc u_n est croissante.
     v_n+1−v_n=10⁻ⁿ⁻¹−10⁻ⁿ=10⁻ⁿ(1/10−1)<0
     Donc v_n est décroissante.
     v_n−u_n=1+10⁻ⁿ−1+10⁻ⁿ=2*10⁻ⁿ Donc v_n−u_n converge vers 0.
     Les deux suites u_n et v_n sont donc adjacentes.
     On tape :
     u(n):=1-1/10^n
     normal(u(n+1)-u(n))
     On obtient :
     (10^(n+1)-10^n)/(10^(n+1)*10^n)
     On tape :
     v(n):=1+1/10^n
     normal(v(n+1)-v(n))
     On obtient :
     (-10^(n+1)+10^n)/(10^(n+1)*10^n)
     On tape :
     normal(v(n)-u(n))
     On obtient :
     2/(10^n)
   • b) u_n=ln(n+1) et v=ln(n+1)+1/n
     Dans cet exercice Xcas ne sert pas à grand chose si ce n’est a voir que v_n est croissante pour n≥ 2 car la fonction ln(x+1)+1/x est croissante pour x≥ 1/2(1+√(5)).
     On tape :
     normal(diff(ln(x+1)+1/x))
     On obtient :
     (x^2-x-1)/(x^3+x^2)
     On tape :
     solve(x^2-x-1)
     On obtient :
     [1/2*(1-sqrt(5)),1/2*(1+sqrt(5))]
     Sinon on a :
     u_n est croissante car la fonction ln(x+1) est croissante.
     u_n et v_n sont divergentes car elles tendent vers +∞ quand n tend vers +∞ :
     Donc v_n n’est donc pas décroissante car sinon elle serait décroissante et minorée par 0 donc convergente.
     Donc les suites u_n et v_n ne sont pas adjacentes.
   • c) u_n=1−1/n et v_n=1+(−1)ⁿ/n
     u_n est croissante et converge vers 1.
     v_n=1+(−1)ⁿ/n converge vers 1 mais v_n n’est pas monotone.
     Donc u_n et v_v ne sont pas adjacentes.
2. u_n=1−1/n et v_n=ln(a+1/n) pour a ≥ 0
   On a :
   u_n est croissante et converge vers 1
   v_n est décroissante et converge vers ln(a)
   u_n−v_n=1−1/n−ln(a+1/n) converge vers 1−ln(a).
   Pour que u_n et v_n soient adjacentes il faut et il suffit que u_n−v_n=1−1/n−ln(a+1/n) converge vers 0 donc il faut et il suffit que ln(a)=1 ou a=e.

11.3  EXERCICE 3 : (4 points) Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point sila réponse est exacte, aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

11.3.1  L’énoncé

1. Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. On tire simultanément 3 boules de l’urne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale à :
   • 21/40     • 7/10×6/9×1/3    • 7/10×7/10×1/3
2. De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l’urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs avec remise. La probabilité d’avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à :
   • 3³×7²/10⁵     • C₅²×(3/10)²×(7/10)³     • C₅²×(3/10)³×(7/10)²
3. De la même urne, on tire une seule boule. Si elle est blanche, on lance un dé cubique (dont les faces sont numérotées de 1 à 6). Si la boule est noire, on lance un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). On suppose les dés bien équilibrés. Le joueur gagne s’il obtient le numéro 1.
   Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu’il ait tiré une boule blanche est égale à :
   • 7/60     • 14/23     • 7/10×1/6/ 1/2× 1/6+1/2× 1/4
4. On note X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, (λ étant un nombre réel strictement positif). La probabilité de l’événement [1≤ X ≤ 3] est égale à :
   • e^−λ−e^−3λ     • e^−3λ−e^−λ     • e^−λ/e^−3λ

11.3.2  Le corrigé avec Xcas

1. On tape :
   comb(7,2)*3/comb(10,3)
   On obtient :
   21/40
   
2. On tape :
   comb(5,2)*(3/10)^3*(7/10)^2
   On obtient :
   1323/10000
   
3. On tape :
   7/10*1/6/(7/10*1/6+3/10*1/4)
   On obtient :
   14/23
   
4. On tape :
   assume(a>0);
   normal(a*int(exp(-a*x),x,1,3))
   On obtient :
   -exp(-3*a)+exp(-a)
   

11.4  EXERCICE 4 : (5 points)

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

11.4.1  L’énoncé

Dans tout l’exercice, (O;u,v) est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique : 4 cm). On désigne par A le point d’affixe z_A = 1.

1. On considère la transformation T du plan qui, à tout point M d’affixe z, associe le point d’affixe −z+2 .
   • a) Déterminer les images respectives par la transformation T du point A et du point Ω d’affixe 1+i√3 .
   • b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation T.
   • c) Déterminer l’image par la transformation T du cercle (c) de centre O et de rayon 1.
2. (c′) désigne le cercle de centre O′ d’affixe 2 et de rayon 1.
   • a) Construire le point A′ appartenant au cercle (c′) tel que :
     OA,O′A′=π/3 [modulo 2π].
   • b) À tout point M du cercle (c) d’affixe z, on associe le point M′ du cercle (c′) d’affixe z′ tel que : OM,O′M′=π/3 [modulo 2π].
     Déterminer le module et un argument de z′−2/z.
     En déduire que z′=e^iπ/3z+2.
   • c) Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation r qui à tout point M du plan d’affixe z associe le point M′ d’affixe z′ telle que z′=e^{i π/3}z+2.
3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. À tout point M du plan, on associe le point I milieu du segment [MM′].
   Quel est le lieu géométrique du point I lorsque M décrit le cercle (c) ?

11.4.2  Le corrigé avec Xcas

1. T(z)=−z+2
   • a) T(A)=T(1) et T(Ω)=T(1+i√3)
     On tape (il faut cocher Variables_complexes dans la configuration du CAS):
     T(z):=-conj(z)+2
     T(1)
     On obtient :
     1
     On tape :
     normal(T(1+i*sqrt(3)))
     On obtient :
     (i)*sqrt(3)+1
   • b) Éléments caractéristiques de T. T a deux points fixes A et Ω. T est donc la symétrie droite par rapport à la droite AΩ c’est à dire par rapport à la droite x=1. On tape :
     d:=droite(x=1):;
     equation(T(d))
     On obtient :
     x=1
   • c) T(c) où (c) est le cercle de centre O et de rayon 1.
     On tape :
     c:=cercle(0,1):;
     equation(T(c))
     On obtient :
     (x-2)^2+y^2=1
     En effet la symétrie conserve les distance. Donc c se transforme en un cercle de même rayon ayant pour centre le transformé de O par T. Le centre O de c est transformé an le point O′ de coordonnées (2,0). Donc T(c) est le cercle c′ de centre O′ et de rayon 1.
2. • a) A′ est l’intersection du cercle c′ avec le cercle de centre d’affixe 3 et de rayon 1 se trouvant dans le demi-plan y>0.
     Le point A a pour affixe 1 et le point A′ a pour affixe 2+exp(iπ/3) On tape :
     A1:=point(2+exp(i*pi/3))
     affixe(A1)
     On obtient :
     5/2+((i)*sqrt(3))/2
     Ou on tape dans un niveau de géométrie:
     c1:=cercle(2,1);
     d1:=droite(2,3+i*sqrt(3));
     A1:=inter(c1,d1)[0]
     affixe(A1)
     On obtient :
     ((i)*sqrt(3)+5)/2
     
   • b) Si le point M a pour affixe : z=exp(it), alors le point M′ a pour affixe z′=2+exp(i(t+π/3)).
     Donc z′−2/z=exp(iπ/3)=(1+i*√3)/2 z′−2/z a donc pour module 1 et comme argument π/3.
     On tape :
     z:=exp(i*t)
     z1:=2+exp(i*t+i*pi/3)
     normal((z1-2)/z)
     On obtient :
     ((i)*sqrt(3)+1)/2
   • c) r est le produit d’une rotation d’angle fracπ3 et d’une translation : c’est donc une rotation d’angle fracπ3 et de centre le point fixe On tape :
     csolve(z=exp(i*pi/3)*z+2,z)
     On obtient :
     [4/((-i)*sqrt(3)+1)]
3. On tape :
   normal((z1+z)/2)
   On obtient :
   ((i)*sqrt(3)+3)/4*exp((i)*t)+1
   Donc le milieu I de MM′ se trouve sur le cercle de centre d’affixe 1 et de rayon le module de i√3+3)/4 On tape :
   abs((i*sqrt(3)+3)/4)
   On obtient :
   2*sqrt(3)/4