Utilisation de la moyenne de Césaro

Définition
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite, on pose

$$S_k=\sum_{i=0}^{k}u_i$$

On dit que la série $\sum u_n$ converge vers $\sigma$ au sens de Césaro si la suite :

$$\sigma_n=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}S_k$$

tend vers $\sigma$. On pose :

$$\sigma_n(f)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}SF_k(f)$$

Théorème
La suite $\sigma_n(f)(x)$ converge vers $f(x)$ en tous les points de continuité de $f$.

Exercice 8 (à rendre au début du TP5)
On observe que la convergence au sens de Césaro permet de régulariser la convergence, donc d'éliminer le phénomène de Gibbs.
Calculer $\sigma_n(f)(x)$ pour la fonction $f$ périodique de période $2\pi$ définie par :
$f(x)=x$ sur $]-\pi;\ \pi[$
$f(\pi)=0$.
Tracer sur un même graphique $SF_6(f)(x)$ et $\sigma_7(f)(x)$.