Phénomène de Gibbs

Les graphes des fonctions $SF(f)_n$ possède un maximum ayant comme coordonnées $x_n,y_n$. Pour la fonction $f$ de l'exercice 6, quand $n$ tend vers $+\infty$, on va montrer que :

$$x_n \rightarrow \pi, \quad y_n \rightarrow \alpha=2 \int_0^\pi \frac{\sin(t)}{t}dt$$

Le calcul approché de $\alpha$ (cf exercice 3) montre que $\alpha>3.7 > \pi$. Ces ''bosses'' au voisinage du point de discontinuité s'appellent le phénomène de Gibbs.

Exercice 7 (à rendre au début du TP5)
Observation et démonstration de ce phénomène :
On cherche la limite de $y_n=SF(f)_n(x_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$

1. de façon empirique
   Déterminer les coordonnées $x_n,y_n$ du maximum de :
   $SF(f)_n(x)=\sum_{k=0}^n a_k(f) \cos(kx)+b_k(f) \sin(kx)$ pour n=1, 2, 3, 4, 5, 6

2. de façon théorique
   1. Déterminer la valeur de $x_n$
   2. Montrer que :
      $$SF(f)_n(x)=2\sum_{k=1}^n \ (-1)^{k+1} \frac{\sin(kx)}{k}$$

   3. Montrer que :
      

      $$2\sin(\frac{x+\pi}{2})\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1} \cos(kx) = -2\sin(\frac{x+\pi}{2})\sum_{k=1}^n \cos(k(x+\pi))$$

      $$= \sin(\frac{x+\pi}{2})-\sin(\frac{(x+\pi)(2n+1)}{2})$$

      
      
      et en déduire que :
      $$SF(f)_n'(x)=\frac{\sin(\frac{x+\pi}{2})- \sin(\frac{(x+\pi)(2n+1)}{2})}{\sin(\frac{x+\pi}{2})}$$

   4. En déduire que :
      $$SF(f)_n(x)=x-\pi-\int_\pi^x \frac{\sin(\frac{(t+\pi)(2n+1)}{2})} {\sin(\frac{t+\pi}{2})}dt$$

   5. En faisant un changement de variables montrer que :
      $$SF(f)_n(x)=x-\pi+2\int_0^{\frac{\pi-x}{2}}\frac{\sin((2n+1)t)}{\sin(t)}dt$$

   6. Prouver que :
      $$y_n=SF(f)_n(x_n)=-\frac{\pi}{n+1} +2\int_0^{\frac{\pi}{2n+2}}\frac{\sin((2n+1)t)}{\sin(t)}dt$$

   7. On définit la fonction $g$ par :
      $$g(0)=0, \quad g(x)=\frac{1}{\sin(x)}-\frac{1}{x}$$
      Montrer que $g$ est continue, en déduire :
      $$\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_0^{\frac{\pi}{2n+2}}\sin((2n+1)t)(\frac{1}{\sin(t)} -\frac{1}{t})dt$$

   8. Montrer que $y_n$ tend vers $\alpha=2 \int_0^\pi \frac{\sin(t)}{t}dt$ quand $n$ tend vers $+\infty$.