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7  Des exercices corrigés avec Xcas

7.1  Fonction et représentation graphique (niveau terminale S)

7.1.1  Exercice 1

On considère la fonction f de ℝ-{3} dans ℝ définie par :

f(x)=(x+1)ln|x−3|
  1. Calculer la derivée première f′ et seconde f″ de f.
    En déduire les variations de f′.
  2. Calculer les limites de f′ en −∞ et en 3 à gauche.
  3. Montrer que f′ s’annule une seule fois en α sur ]−∞;3[. Donner un encadrement de α d’amplitude 0.1.
  4. Étudier le signe de f′(x) sur ℝ-{3} et en déduire les variations de f.
  5. Tracer la courbe C de f dans un repère orthonormé (unité 1cm).
  6. Calculer l’aire en cm2 de la région comprise entre C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=−1 et x=2.

Réponses

  1. On tape pour définir la fonction f :
    f(x):=(x+1)*ln(abs(x-3))
    On tape pour définir la fonction f′ :
    f1:=function_diff(f):;
    puis,
    f1(x)
    On obtient :
    ln(abs(x-3))+(x+1)/(x-3)
    Donc f′(x)=ln(|x−3|)+x+1/x−3.
    On tape pour définir la fonction f″ :
    f2:=function_diff(f1):;
    puis,
    f2(x)
    On obtient :
    1/(x-3)+1/(x-3)+(x+1)*(-(1/((x-3)^2)))
    puis pour simplifier l’écriture, on tape :
    normal(f2(x))
    On obtient :
    (x-7)/(x^2-6*x+9)
    ou bien pour factoriser, on tape :
    factor(f2(x))
    On obtient :
    (x-7)/((x-3)^2)
    Donc f″(x)= x−7/(x−3)2

    Autre façon
    On tape pour définir la fonction f :

    f(x):=(x+1)*ln(abs(x-3))

    On tape pour calculer f′(x) :

    dfx:=diff(f(x)

    On obtient :

    ln(abs(x-3))+(x+1)/(x-3)

    Donc f′(x)=ln(|x−3|)+x+1/x−3.
    Et on tape pour définir la fonction f′ à partir de dfx:

    f1:=unapply(dfx,x);

    On tape pour calculer f″(x) :

    ddfx:=diff(dfx)

    On obtient :

    1/(x-3)+1/(x-3)+(x+1)*(-(1/((x-3)^2)))

    ou pour avoir une écriture factorisée, on tape directement :

    ddfx:=factor(diff(dfx))

    On obtient :

    (x-7)/((x-3)^2)

    Donc f″(x)= x−7/(x−3)2
    Et on tape pour définir la fonction f″ à partir de ddfx:

    f2:=unapply(ddfx,x);

    Cette façon de faire à l’avantage de définir la fonction f2=f″ à partir d’une expression simplifiée ou factorisée.
    Attention !!! On ne peut pas écrire par exemple :
    g(x):=normal(diff(f(x))) pour définir la fonction g=f′ mais on doit écrire g:=unapply(normal(diff(f(x))),x) car sinon il y a confusion entre x variable de dérivation et x variable de la fonction g.

  2. On tape pour avoir la limite de f′ en −∞ :
    limit(f1(x),x,-infinity)
    On obtient :
    +infinity
    On tape pour avoir la limite de f′ en 3 :
    limit(f1(x),x,3,-1)
    On obtient :
    -infinity
  3. f′ est continue et décroissante de +∞ à −∞ sur ]−∞;3[ puisque f″(x)<0 sur ]−∞;3[. Il existe donc α unique dans ]−∞;3[ tel que f′(α)=0.
    On tape pour avoir une valeur approchée de α :
    assume(x<3);fsolve(f1(x),x)
    On obtient :
    x,0.776592890991
    Puis, on tape pour enlever l’hypothèse sur x :
    purge(x)
    On tape :
    f1(0.7)
    On obtient :
    0.0937786881525
    On tape :
    f1(0.8)
    On obtient :
    -0.0297244578175
    On a f1(0.7)>0 et f1(0.8)<0 donc 0.7<α<0;8.
  4. Puisque f″(7)=0, on tape pour avoir le minimum de f′ sur ]3;+∞[ :
    f1(7)
    On obtient :
    ln(4)+2
    Le minimum de f′ sur ]3;+∞[ est donc positif.
    Donc f′(x)>0 si x ∈ ]−∞;α[ ∪ ]3;+∞[ et f′(x)<0 si x ∈ ]α;3[.
    Donc f est croissante sur ]−∞;α[ ∪ ]3;+∞[ et est décroissante sur ]α;3[.
  5. On cherche les limites de f en −∞, +∞, et en 3.
    On tape :
    limit(f(x),x,-infinity)
    On obtient :
    -infinity
    On tape :
    limit(f(x),x,+infinity)
    On obtient :
    +infinity
    On tape :
    limit(f(x),x,3)
    On obtient :
    -infinity
    On trace les graphes de f et des deux droites x=−1 et x=2, on tape :
    plofunc(f(x),x);droite(x=1);droite(x=2)
    On obtient le tracé du graphe de f et le tracé des droites x=−1 et x=2.
  6. On tape pour trouver l’aire en cm2 :
    integrate(f(x),x,-1,2)
    On obtient :
    8*ln(4)-12+15/4
    On tape :
    normal(8*ln(4)-12+15/4))
    On obtient :
    8*ln(4)-33/4
    On tape si on veut faire l’intégration par parties :
    ibpu((x+1)*ln(abs(x-3)),ln(abs(x-3)))
    On obtient :
    [((x^2)/2+x)*ln(abs(x-3)),(-x^2-2*x)/(2*x-6)]
    On tape pour terminer l’intégration :
    A:=ibpu([((x^2)/2+x)*ln(abs(x-3)),(-x^2-2*x)/(2*x-6)],0)
    On obtient :
    (-x^2-10*x)/4-15*1/2*ln(abs(x-3))+((x^2)/2+x)*ln(abs(x-3))
    On tape :
    preval(A,-1,2)
    On obtient :
    8*ln(4)-9/4-6)
    On tape :
    normal(8*ln(4)-9/4-6))
    On obtient :
    8*ln(4)-33/4
    Donc l’aire cherchée vaut (8*ln(4)−33/4) cm2;

7.1.2  Exercice 2

On considère la fonction f de ℝ dans ℝ définie par :

f(x)=
exp(x)2−exp(x)+1
exp(x)3+exp(x)
  1. Montrer que pour tout x ∈ ℝ, P(x)=x4−2x3+2x2+1 ≥ 1
  2. Étudier les variations de f et tracer son graphe.
  3. Trouver l’équation de la tangente au graphe au point d’abscisse x=0
  4. Calculer ∫0x f(t)dt puis, limx−>+∞0x f(t)dt

Réponses

  1. On tape :
    factor(x^4-2x^3+2x^2)
    On obtient :
    (x^2+-2*x+2)*x^2
    On tape :
    canonical_form(x^2-2*x+2)
    On obtient :
    (x-1)^2+1
    Donc pour tout x ∈ ℝ, x4−2x3+2x2=x2*(x−1)2+x2 ≥ 0
    donc pour tout x ∈ ℝ, P(x)=x4−2x3+2x2+1 ≥ 1
  2. On tape pour calculer la valeur de la dérivée de f en un point :
    normal(derive((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x))
    On obtient :
    (-(exp(x))^4+2*(exp(x))^3-2*(exp(x))^2-1)/ ((exp(x))^5+2*(exp(x))^3+exp(x))

    Le numérateur est négatif car il est égal à −P(exp(x)) et le dénominateur est strictement positif car il est égal à une somme de termes strictement positifs. La fonction f est donc décroissante.
    Pour chercher la limite de f en +∞, on tape :

    limit((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x=+infinity)

    On obtient :

    0

    Pour chercher la limite de f en −∞, on tape :

    limit((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x=-infinity)

    On obtient :

    infinity

    Pour tracer le graphe de f, on tape :

    plotfunc(((exp(x))^2-exp(x)+1)/((exp(x))^3+exp(x)),x)

    On obtient le graphe de f.

  3. On définit la fonction f, on tape :
    f(x):=(exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x))
    On calcule f(0), on tape :
    f(0)
    On obtient
    1
    2
    On définit la fonction df comme étant la dérivée de f, on tape :
    df:=unapply(normal(diff(f(x),x)),x)
    On calcule df(0), on tape :
    df(0)
    On obtient :
    1
    2
    L’équation de la tangente au point d’abscisse 0 est donc :
    y=df(0)*x+f(0) c’est à dire y=−1/2x+1/2.
    ou encore on tape :
    equation(tangent(plotfunc(f(x)),0),[x,y])
    On obtient :
    y=(1/-2*x+1/2)y=(1/-2*x+1/2)
  4. On calcule l’intégrale : ∫0x f(t)dt
    On tape :
    int(f(t),t,0,x)
    On obtient :
    (ln((exp(x))^2+1)*exp(x)+(-(2*x))*exp(x)+2*exp(x)-2)* 1/2/exp(x)-1/2*ln(2)
    Puis on calcule : limx−>+∞0x f(t)dt , on tape :
    limit((ln((exp(x))^2+1)*exp(x)+(-(2*x))*exp(x)+2*exp(x)-2) *1/2/exp(x)-1/2*ln(2),x=+infinity)
    On obtient :
    -1/2*ln(2)+1

7.2  Calcul de primitives (niveau début université)

  1. Calculer
    2


    1
    1
    x3+1
    dx
    Réponse :
    On tape :
    int(1/(x^3+1),x,1,2)
    On obtient apres simplification (en utilisant normal}
    (sqrt(3)*ln(2)+pi)*1/3/sqrt(3)
    Pour vérifier, on tape :
    partfrac(1/(1+t^3))
    On obtient :
    1/((t+1)*3)+(-1/3*t+2/3)/(t^2-t+1)
    Puis on intègre chaque terme séparément...
  2. Décomposer, sur ℝ, en éléments simples : t2/1−t4.
    Calculer ∫t2/1−t4dt et ∫sin(x)2/cos(2x)dx
    Réponse :
    On tape :
    partfrac(t^2/(1-t^4))
    On obtient :
    -1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1)
    On tape :
    int(-1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1),t)
    ou on tape :
    int(t^2/(1-t^4),t)
    On obtient :
    1/(-2*atan(t))+1/(4*ln(abs(t+1)))+1/(-4*ln(abs(t-1)))
    On tape :
    normal(int(sin(x)^2/cos(2*x),x))
    On obtient :
    -1/2*x-1/-4*ln(abs((tan(1/2*x))^2-2*tan(1/2*x)-1))- 1/4*ln(abs((tan(1/2*x))^2+2*tan(1/2*x)-1))
    Ou on tape en linéarisant avant d’intégrer :
    normal(int(tlin(sin(x)^2/cos(2*x))))
    On obtient :
    1/4*ln(abs(tan(x)+1))+1/-4*ln(abs(tan(x)-1))+1/-2*x
    Ou encore on veut faire le changement de variable tan(x)=t et on tape pour avoir l’expression en fonction de la tangente, avant d’intégrer :
    trigtan(texpand(sin(x)^2/cos(2x)))
    On obtient :
    (-((tan(x))^2))/((tan(x))^2-1)
    On fait le changement de variable x=atan(t) on tape :
    subst('integrate(-tan(x)^2/(tan(x)^2-1),x)',x=atan(t))
    ou on tape
    subst(Int(-tan(x)^2/(tan(x)^2-1),x),x=atan(t))
    On obtient
    integrate((-(t^2))/((1+t^2)*(t^2-1)),t)
    Soit, le remplacant t par tan(x) :
    1/-2*atan(tan(x))+1/4*ln(abs(tan(x)+1))+1/-4*ln(abs(tan(x)-1))
  3. Calculer ∫1/t2dt, ∫1/t(t2+1)dt, et ∫t2t+1/t4+t2dt
    Réponse :
    On tape :
    int(1/t^2,t)
    On obtient :
    1/(-t)
    On tape :
    int(1/(t*(t^2+1)),t)
    On obtient :
    1/-2*ln(t^2+1)+1/2*ln((abs(t))^2)
    On tape :
    int((t^2-t+1)/(t^2+t^4),t)
    On obtient :
    1/2*ln(t^2+1)-ln(abs(t))+(-t+1)/(-t)

7.3  Dévelopements limités

  1. Donner un développement limité à l’ordre 7 au voisinage de x=0 de :
    sin(sinh(x))−sinh(sin(x))
    Réponse :
    On tape :
    series(sin(sinh(x))-sinh(sin(x)),x=0,7)
    On obtient:
    1/-45*x^7+x^8*order_size(x)
  2. Donner un développement limité à l’ordre 4 au voisinage de x=0 de :
    ln(cos(x))
    exp(x+x2)
    Réponse :
    On tape :
    series(ln(cos(x))/exp(x+x^2),x=0,4)
    On obtient :
    1/-2*x^2+1/2*x^3+1/6*x^4+x^5*order\_size(x)
    La fonction order_size est telle que, pour tout α>0, xαorder_size(x) tend vers 0 quand x tend vers 0

7.4  Équations différentielles

  1. Trouver les solutions de l’équation différentielle :
    x(x2−1)y′+2y=0
    Réponse :
    On tape :
    desolve(x*(x^2-1)*y'+2*y=0,y)
    On obtient :
    (c\_0*x^2)/(x^2-1)
  2. Trouver les solutions de l’équation différentielle :
    x(x2−1)y′+2y=x2
    Réponse :
    On tape :
    desolve(x*(x^2-1)*y'+2*y=x^2,y)
    On obtient :
    ((ln(abs(x))+c\_0)*x^2)/(x^2-1)

7.5  Les matrices

  1. Soit Ma=[
    2a−1a2a−1
    a2+a−2a2−1a−1
    a2+a−1a2+a−1a
    ]
    a) Pour quelles valeurs de a, Ma est-elle inversible ?
    Préciser son rang lorsqu’elle n’est pas inversible.
    b) Calculer l’inverse de M2

    Réponse :
    On tape :

    M:=[[2a-1,a,2a-1],[a^2+a-2,a^2-1,a-1],[a^2+a-1,a^2+a-1,a]]

    On calcule le déterminant de M, on tape :

    det(M)

    On obtient :

    2*a^4+-2*a^3+-2*a^2+2*a

    Pour avoir l’inverse de M on tape :

    inv(M)

    On obtient :

    1
    2a4−2a3−2a2+2a



    a−12a3+3a+1−2a3+a2+a−1
    a2+1−2a3+a2+2a−12a3a2−2a+1
    a3−2a+1a3+2a−1a3−2a2+1



    On tape :

    solve(2a^4-2*a^3-2*a^2+2*a,a)

    On obtient :

    [-1,0,1]

    Donc la matrice est inversible si a ∉[−1,0,1]
    Ou on tape :

    factor(2a^4-2*a^3-2*a^2+2*a)

    On obtient :

    2*(a+1)*a*(a-1)^2

    On tape :

    rank(subst(M,a,-1))

    On obtient :

    2

    On tape :

    rank(subst(M,a,0))

    On obtient :

    2

    On tape :

    rank(subst(M,a,1))

    On obtient :

    1

    On tape :

    inv(subst(M,a,2))

    On obtient : A=1/12[

    111−7
    −3−99
    5−51

    ]
    Remarque : pour éviter de faire des substitutions on peut définir la matrice M comme une fonction de a, il faut alors écrire :

    M(a):={[[2a-1,a,2a-1],[a^2+a-2,a^2-1,a-1],[a^2+a-1,a^2+a-1,a]]}

    surtout ne pas oublier { et }.
    On peut alors taper : inv(M(2)).

  2. Soit A=[
    11a
    1a1
    a11
    ]
    Pour quelles valeurs de a, A est-elle diagonalisable ?

    Réponse :
    On tape :

    A:=[[1,1,a],[1,a,1],[a,1,1]]

    Pour avoir les valeurs propres de A on tape :

    egvl(A)

    On obtient :




    a+100
    0a+20
    00a−1



    ce qui s’écrit :

    [[-a+1,0,0],[0,a+2,0],[0,0,a-1]]

    Si a ≠ 1 il y a 3 valeurs propres distinctes −a+1,a+2,a−1 et
    si a=1 il y a une valeur propre double (λ=0) et une valeur propre simple (λ=3).
    Puis on cherche la matrice de passage, on tape :

    egv(A)

    On obtient :




    −111
    01−2
    −111



    ce qui s’écrit :

    [[1,1,1],[0,1,-2],[-1,1,1]]

    les vecteurs propres sont les colonnes de cette matrice.
    Ou on tape pour avoir directement les deux informations, matrice de passage et réduite de Jordan :

    jordan(A)

    On obtient une liste de deux matrices [P,B] (P est la matrice de passage et B=P−1AP) :







    −111
    01−2
    −111






    a+100
    0a+20
    00a−1






    ce qui s’écrit :

    [[[1,1,1],[0,1,-2],[-1,1,1]],[[-a+1,0,0],[0,a+2,0],[0,0,a-1]]]

    On remarque qu’en faisant : a:=1 puis jordan(A)
    les valeurs propres doubles sont regroupées et on obtient :







    1−30
    10−3
    133






    300
    000
    000







    ce qui s’écrit :

    [[[1,-3,0],[1,0,-3],[1,3,3]],[[3,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]]

    A est donc diagonalisable quelque soit a et B=P−1AP.


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