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6.21.3  Somme indicée finie et infinie et primitive discrète : sum

sum a deux, trois, quatre ou cinq arguments :

Autes Exemples
On tape :

sum(k,k,2,6)

On obtient :

20

On tape :

sum(k,k,7,2)

On obtient :

-18

On tape :

sum(k,k,3,2)

On obtient :

0

On tape :

sum(1,k,-2,n)

On obtient :

n+1+2

On tape :

normal(sum(2*k-1,k,1,n))

On obtient :

n^2

On tape :

sum(1/(n^2),n,1,10)

On obtient :

1968329/1270080

On tape :

sum(1/(n^2),n,1,+(infinity))

On obtient :

pi^2/6

On tape :

sum((-1)^n/(2*n+1)!,n,0,+(infinity))

On obtient :

sin(1))

On tape :

sum(1/(3*n)!,n,0,+(infinity))

On obtient :

(2*cos((sqrt(3))/2)*exp(1/-2)+exp(1))/3

On tape :

sum(1/(n*2^n),n,1,+(infinity))

On obtient :

-(ln(1/2))

On tape :

sum((-1)^n/(2*n+1),n,0,+(infinity))

On obtient :

pi/4

On tape :

assume(x>0 && x<1);
sum(x
^(2*n)/(2*n+1),n,0,+(infinity))

On obtient :

x,(-ln(-x+1)+ln(x+1))/(2*x)

On tape :

sum(1/(n^3-n),n,2,10)

On obtient :

27/110

On tape :

sum(1/(n^3-n),n,1,+(infinity))

On obtient :

1/4

Pour justifier ce résultat on décompose 1/(n^3-n), on tape :

partfrac(1/(n^3-n))

On obtient :

1/(2*(n+1))-1/n+1/(2*(n-1))

Donc quand on fait la somme de 2 à N on a :
n=2N −1/n=−∑n=1N−1 1/n+1=−1/2−∑n=2N−2 1/n+1−1/N
1/2*∑n=2N 1/n−1=1/2*(∑n=0N−2 1/n+1)=1/2*(1+1/2+∑n=2N−21/n+1)
1/2*∑n=2N 1/n+1=1/2*(∑n=2N−2 1/n+1+1/N+1/N+1)
les termes ∑n=2N−2 se détruisent et il reste :
−1/2+1/2*(1+1/2)−1/N+1/2*(1/N+1/N+1)=1/4−1/2N(N+1)
d’ou les résultat précédents :
- pour N=10 la somme vaut : 1/4−1/220=27/110
- pour N=+∞ la somme vaut : 1/4 car 1/2N(N+1) tend vers zéro quand N tend vers l’infini.


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