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6.21.4  Somme de Riemann : sum_riemann

sum_riemann a deux arguments : une expression Xpr dépendant de deux variables et la liste des noms de ces deux variables.
sum_riemann(Xpr(n,k),[n,k]) renvoie un équivalent, au voisinage de n=+∞, de ∑k=1n Xpr(n,k) ou de ∑k=0n−1 Xpr(n,k) ou de ∑k=1n−1 Xpr(n,k), lorsque la somme considérée est une somme de Riemann associée à une fonction continue sur [0,1] ou répond quand la recherche a été infructueuse "ce n’est probablement pas une somme de Riemann" .
Exercice 1
Soit Sn=∑k=1n k2/n3.
Calculer limn → +∞ Sn.
On tape :

sum_riemann(k^2/n^3,[n,k])

On obtient :

1/3

car :

n
k=1
k2
n3
=
1
n
n
k=1
k2
n2

est la somme de riemann associée à :

1


0
x2dx=
1
3

Exercice 2
Soit Sn=∑k=1n k3/n4.
Calculer limn → +∞ Sn.
On tape :

sum_riemann(k^3/n^4,[n,k])

On obtient :

1/4

car :

n
k=1
k3
n4
=
1
n
n
k=1
k3
n3

est la somme de riemann associée à :

1


0
x3dx=
1
4

Exercice 3
Calculer limn → +∞(1/n+1+1/n+2+...+1/n+n).
On tape :

sum_riemann(1/(n+k),[n,k])

On obtient :

log(2)

car :

n
k=1
1
n+k
=
1
n
n
k=1
1
1+(k/n)

est la somme de riemann associée à :

1


0
1
1+x
dx=ln(1+1)=ln(2)

Exercice 4
Soit Sn=∑k=1n 32n3/16n4k4.
Calculer limn → +∞ Sn.
On tape :

sum_riemann(32*n^3/(16*n^4-k^4),[n,k])

On obtient :

2*atan(1/2)+log(3)

car :

n
k=1
32n3
16n4k4
=
1
n
n
k=1
32
16−(k/n)4

est la somme de riemann associée à :

1


0
32
16−x4
dx=
1


0
1
x+2
1
x−2
4
x2+4

qui vaut donc ln(3)−ln(2)+ln(2)−ln(1)+2  atan (1/2)=ln(3)+2  atan (1/2)
Exercice 5
Calculer limn → +∞(n/n2+12+n/n2+22+...+n/n2+n2).
On tape :

sum_riemann(n/(n^2+k^2),[n,k])

On obtient :

pi/4

car :

n
k=1
n
n2+k2
=
1
n
n
k=1
1
1+(k/n)2

est la somme de riemann associée à :

1


0
1
1+x2
dx=  atan (1)=
π
4

Exercice 6
Calculer limn → +∞(1/√n2+12+1/√n2+22+...+1/√n2+n2).
On tape :

sum_riemann(1/sqrt(n^2+k^2),[n,k])

On obtient :

-ln(sqrt(2)-1)

car :

n
k=1
1
n2+k2
=
1
n
n
k=1
1
1+(k/n)2

est la somme de riemann associée à :

1


0
1
1+x2
dx=ln(1+
1+12
−ln(0+
1+02
=ln(1+
2

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