Point de vue de droite sur une formule de Shimura-Taniyama-Giraud-Waterhouse. [1]
Borner, en fonction de $deg(Y)^{1over d}$, les degrés d'un système d'équations
pour une variété quasi-projective $Y$ de codimension $d$ est un problème classique,
qui se ramène dans le cas d'un sous-tore $Y simeq {f G}_m^{N-d}$ d'un tore $G =
G_m^N$, à calculer la hauteur de W. Schmidt du sous-groupe $R(Y)$ des caractères de
$G$ s'annulant sur $Y$. Quand ${f G}_m$ est remplacé par une variété abélienne
complexe principalement polarisée $(A, lambda)$ de dimension $g$, dont l'anneau
d'endomorphisme $cal O$ est un ordre maximal d'une algèbre à division, un analogue
$H^{lambda, cal O}$ de cette hauteur a été construit par G. Rémond et C.
Liebendörfer, qui obtiennent $H^{lambda, cal O}(R(Y)) = (deg(Y)/d!)^{1/2g}$. Nous
donnons une autre démonstration de cette identité, inspirée par un travail en
collaboration avec D. Masser, et valable en toute caractéristique, en ramenant le
calcul de la ``partie finie de la hauteur à la formule du titre: pour tout idéal à
gauche complet $I$ de $cal O$, le sous-schéma en groupes des points de $I$-torsion de
$A$ a pour ordre $sharp A[I] = [{cal O} : I]^{2g/rk({cal O})}$. Nous décrirons les
preuves, de nature droitière, données de cette formule par Shimura-Taniyama et
Waterhouse (voir aussi l'appendice de la thèse de C. Cornut), puis celle, centriste, de Giraud, et terminerons l'exposé par une nouvelle
preuve, d'inspiration nettement plus gauchiste.