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Point de vue de droite sur une formule de Shimura-Taniyama-Giraud-Waterhouse.

Mercredi, 9 Mai, 2007 - 16:00
Prénom de l'orateur : 
Daniel
Nom de l'orateur : 
BERTRAND
Résumé : 

Borner, en fonction de $deg(Y)^{1over d}$, les degrés d'un système d'équations
pour une variété quasi-projective $Y$ de codimension $d$ est un problème classique,
qui se ramène dans le cas d'un sous-tore $Y simeq {f G}_m^{N-d}$ d'un tore $G =
G_m^N$, à  calculer la hauteur de W. Schmidt du sous-groupe $R(Y)$ des caractères de
$G$ s'annulant sur $Y$. Quand ${f G}_m$ est remplacé par une variété abélienne
complexe principalement polarisée $(A, lambda)$ de dimension $g$, dont l'anneau
d'endomorphisme $cal O$ est un ordre maximal d'une algèbre à  division, un analogue
$H^{lambda, cal O}$ de cette hauteur a été construit par G. Rémond et C.
Liebendörfer, qui obtiennent $H^{lambda, cal O}(R(Y)) = (deg(Y)/d!)^{1/2g}$. Nous
donnons une autre démonstration de cette identité, inspirée par un travail en
collaboration avec D. Masser, et valable en toute caractéristique, en ramenant le
calcul de la ``partie finie de la hauteur à  la formule du titre: pour tout idéal à 
gauche complet $I$ de $cal O$, le sous-schéma en groupes des points de $I$-torsion de
$A$ a pour ordre $sharp A[I] = [{cal O} : I]^{2g/rk({cal O})}$. Nous décrirons les
preuves, de nature droitière, données de cette formule par Shimura-Taniyama et
Waterhouse (voir aussi l'appendice de la thèse de C. Cornut), puis celle, centriste, de Giraud, et terminerons l'exposé par une nouvelle
preuve, d'inspiration nettement plus gauchiste.

Institution de l'orateur : 
Paris VI
Thème de recherche : 
Théorie des nombres
Salle : 
1 tour Irma
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