Emmanuel Peyre

(Exposé dans le cadre de la rencontre interthème du jeudi 13 mai autour du mot "équidistribution".)

Quand on regarde une équation polynomiale comme
\[X^3+Y^3+Z^3=1\]
il est assez facile de trouver des solutions rationnelles évidentes (celles par exemple où une des coordonnées vaut 1 et les deux autres sont opposées l'une de l'autre), ce qui correspond au fait que la surface définie par cette équation contient des droites affines. Mais il y a d'autres solutions, un peu moins évidentes comme (2/15,16/15,-3/5). En fait, on peut montrer que les solutions sont denses dans la surface réelle définie par l'équation cubique, alors qu'il n'y a qu'un nombre fini de droites affines dans cette surface. Il est alors naturel de s'interroger sur la distribution des solutions de «taille» bornée lorsqu'on fait tendre la borne vers l'infini.

Si on analyse cela en terme de convergence faible de mesures de comptage, on se rend compte que la mesure limite est supportée par les droites contenues dans la surface: les solutions évidentes sont (et de loin) bien plus nombreuses !

L'étude des solutions non évidentes est en fait encore un problème ouvert dans cet exemple. Mais, dans d'autres cas, on sait prouver qu'une fois retiré les solutions évidentes, la mesure limite admet une densité donnée par une forme continue explicite sur la surface.

Cette uniformité apparente cache toutefois des problèmes d'approximation diophantienne dont le slogan est «il est difficile d'approcher un nombre rationnel par un autre nombre rationnel». Les dessins montrent qu'en fait une solution de petite taille va faire le «vide» autour d'elle (cf. le lien ci-dessous).

Le but de cette petite leçon de statistique diophantienne est de faire découvrir sur quelques exemples à quel point l'approche probabiliste de ce problème déterministe est riche.

Quelques illustrations: https://www-fourier.univ-grenoble-alpes.fr/~peyre/images/index.php