Sur une variété $M$ compacte, considérons une suite de métriques sur $M$
qui vérifie une condition de courbure donnée, par exemple Ricci positif,
courbure sectionnelle bornée... Peut-on extraire une sous-suite de
métriques qui converge ? Si oui, que peut-on dire de l'espace limite ?
Il s'agit d'un problème fréquent dès que l'on cherche à trouver une
"bonne métrique" sur $M$. Par exemple pour montrer l'existence d'une
métrique d'Einstein, ou dans la démonstration du Théorème de
Géométrisation par Perelman...
Nous considérerons une suite de métriques dans une classe conforme
fixée. Si l'on suppose que le tenseur de courbure est borné en norme
$L^p$ pour $p>n/2$, M. Gursky a montré que l'on peut extraire une
sous-suite qui converge vers une métrique riemannienne continue. Nous
présenterons le cas critique d'une suite de métriques (dans une classe
conforme) dont la courbure scalaire est pincée en norme $L^{n/2}$. Des
singularités peuvent apparaître, la convergence d'une sous-suite vers
une variété riemannienne limite ne peut être assuré.
Nous montrons que malgré cela, on peut extraire une sous-suite qui
converge au sens de Gromov-Hausdorff, en temps que suite d'espaces
métriques mesurés, et que l'espace limite vérifie beaucoup de bonnes
propriétés (mesure doublante, inégalité isopérimétrique, inégalité de
Sobolev...). Le coeur de la preuve consiste à montrer que la mesure de
volume reste, tout au long de la suite de métriques, un \emph{poids
fortement $A_\infty$}, notion qui vient de l'analyse harmonique et qui a
de nombreuses conséquences géométriques.
Samuel Tapie
Compacité dans une classe conforme et pincement intégral de la courbure
Thursday, 21 March, 2019 - 14:00
Résumé :
Institution de l'orateur :
Nantes
Thème de recherche :
Théorie spectrale et géométrie
Salle :
4