Grégory Miermont

Dans un travail récent avec Jérémie Bettinelli, nous avons montré qu'une quadrangulation renormalisée de façon idoine converge vers un espace métrique limite, appelé le disque brownien. La renormalisation nécessaire pour obtenir ce résultat est très spécifique : le périmètre doit être de l'ordre de n^{1/2}, où n est le nombre de faces, tandis que les distances doivent être rééchelonnées par n^{1/4}. D'autres théorèmes limites apparaissent dans le cas de petits ou de grands périmètres.

Dans ce travail, en collaboration avec Erich Baur et Gourab Ray, nous examinons tous les régimes possibles, et en particulier ceux où l'on rééchelonne les distances par un facteur petit devant les distances typiques, de sorte que la limite est non compacte. L'exemple type dans cette direction est le plan brownien de Curien-Le Gall, que l'on peut voir comme espace tangent de la carte brownienne près d'un point typique. En "zoomant" près d'un point du bord, nous construisons un avatar demi-planaire du plan brownien. De façon surprenante, d'autres régimes plus exotiques apparaissent, dont notamment une famille à un paramètre d'espaces métriques qui interpolent entre le demi-plan brownien et la version non-compacte de l'arbre brownien.