Propriétés métriques des ensembles de niveau des applications différentiables sur le groupe d'Heisenberg

Pour cet exposé, on considèra un exemple-modèle le plus simple, celui du première groupe d'Heisenberg $(\mathbb{H}^1,d_{cc})$ muni de sa structure sous-riemannienne standard. On considère une application $F: \mathbb{H}^1\to \mathbb{R}^2$ différentiable horizontalement (au sens de Pansu) dont la différentielle est surjective. Il s'agira d'examiner les propriétés locales des ensembles de niveau d'une telle application de point de vue de la théorie géométrique de la mesure. On exhibera, en particulier, des exemples des ensembles de niveau rugueux qui ne permettrons pas leur attribuer un nom d'une sous-variété régulière (à la différence des hypersurfaces régulières, par exemple, qui ont été également beaucoup étudiées).