Constante systolique et variétés plates

La systole d'une variété riemannienne compacte (non simplemnt connexe) $(M^n,g)$ est la plus petite longueur d'une géodésique fermée non homotope \' a un point. Un résultat fondamental de M. Gromov assure que si $M^n$ est essentielle, il existe une constante $c(M)$ strictement positive telle que, pour toute métrique $g$ sur $M^n$, \begin{equation} \mathrm{vol}(g)\ge c(M)(\mathrm{sys}(g))^n \end{equation}

Les surfaces compactes autres que $S2$ sont essentielles, et le théor\' eme de Gromov est une généralisation profonde des mêmes résultats pour le tore $T2$ (C. Loewner),pour le plan projectif (M. Pu) et pour la bouteille de Klein (C. Bavard). Pour ces variétes la constante $c(M)$ est bien connu mais en dimension supérieure, on ne connait pratiquement rien en dehors de l'existence de cette constante. Nous nous intéressons aux variétés de Bieberbach de dimension 3 c'est \'a dire aux variétés compactes de dimension 3 qui portent une métrique riemannienne plate qui ne sont pas des tores et démontrons que les métriques plates ne sont pas optimales pour le quotient systolique.