Frontière naturelle de méromorphie de classes de fonctions zêta de groupes et de variétés toriques

L'exposé débutera par une introduction aux fonctions zêta de groupes et d'anneaux et aux fonctions zêta de variétés toriques. L'accent sera mis, au moyen de plusieurs exemples, sur les applications et les motivations qui ont conduit à  définir ces objets. Des questions concernant ces fonctions zêta conduisent naturellement à  s'intéresser au domaine maximal de méromorphie de produits eulériens uniformes de plusieurs variables $\prod_{p premier}h(p^{-s_1},\dots,p^{-s_n})$, (n>1) associés à  un polynôme à  coefficients entiers $h \in\mathbb{Z}[X_1,\dots,X_n]$. Le principal objectif de cet exposé sera de présenter des méthodes qui permettent de déterminer, sous une hypothèse de régularité analytique vérifiée dans la plupart des cas, la frontière naturelle de méromorphie de ces produits lorsqu'elle existe. De cette façon on obtient un résultat très proche de la généralisation dans le cadre de plusieurs variables du célèbre résultat d'Estermann qui affirme qu'un produit $\prod_{p}h(p^{-s})$ associé à  un polynôme h se prolonge à  tout le plan complexe si et seulement si h est cyclotomique et que sinon l'axe imaginaire est une frontière naturelle de méromorphie. Je présenterai également deux applications. La première concerne la frontière naturelle de méromorphie d'une famille de produits eulériens associés à  des variétés toriques projectives. La seconde est une réponse à  une question posée par N. Kurokawa et H. Ochiai concernant la frontière naturelle de méromorphie d'une fonction zêta d'Igusa de plusieurs variables.