Comment reconnaitre les fonctions constantes dans les espaces métriques mesurés?

Dans $R^n$, plusiers critères intégraux ont été donnés pour décider si une fonction mesurable est constante ou non. Ces critères permettent de donner une définition nouvelle des espaces de Sobolev et résultent de certains travaux de H. Brézis. Une question reste en suspens dans un article de H. Brézis : peut-on espérer avoir le même type de critère sur des espaces métriques mesurés? La réponse est oui sous des conditions géométriques naturelles à savoir : mesure Alfhors régulière et inégalité de Poincaré généralisée. Pour les fonctions à valeurs réelles, ces conditions suffisent aussi pour donner une caractérisation des espaces de Haljasz (généralisation des espaces de Sobolev fondé sur les espaces métriques). En revanche, pour les fonctions à valeurs Banachiques, des difficultés surviennent et la caractérisation des espaces de Haljasz est alors liée à des théorèmes de différentiation valides pour les applications lipschitziennes.