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Application à l'effet d'Aharonov-Bohm.

  Nous améliorons ici le résultat du deuxième auteur (cf. [4]) sur le découplage des valeurs propres par un effet de type Aharonov-Bohm, sans faire d'hypothèse de type non relativiste. Il s'agit de l'analogue dans le cas de l'opérateur de Dirac du travail de B.Helffer ([1]) pour l'opérateur de Schrödinger.

Rappelons brièvement le problème considéré: on considère un opérateur de Dirac avec potentiel électrique et champ magnétique ayant les propriétés suivantes:

On s'aperçoit alors que l'effet du champ magnétique, bien que confiné dans le cylindre, est de l'ordre de e-S/h, plus précisément une valeur propre double tex2html_wrap_inline3598 en l'absence de champ magnétique se transforme en deux valeurs propres tex2html_wrap_inline3600 reliées à tex2html_wrap_inline2464 (sous certaines hypothèses de non-dégénérescence du lacet minimal, hypothèses qui sont précisées dans [4]) par:

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a(h) et b(h) sont des symboles semi-classiques et tex2html_wrap_inline3608 est le flux du champ à travers le lacet. On montre que les symboles principaux de a(h) et de b(h) sont proportionnels respectivement à la partie réelle et imaginaires de la valeur propre de l'isomorphisme du lacet contournant la zone magnétisée pris au point situé à mi-distance d'Agmon sur ce lacet. On peut donc les calculer à l'aide du théorème (6) lorsque le lacet minimal reste dans un plan, et cela sans supposer comme dans [4, Théorème 2,] que l'on est en limite non relativiste. De plus le théorème 7 permet d'affirmer qu'il existe de nombreux exemples de potentiels pour lesquels les valeurs propres tex2html_wrap_inline3600 sont distinctes, puisque leur différence est proportionnelle à tex2html_wrap_inline3616 .

Remerciements.

Le second auteur tient à remercier Luc Rozoy pour les éclaircissements qu'il lui a apporté en géométrie, lui permettant d'aboutir au théorème 7. Ces deux théorèmes suffisent à prouver la non-nullité générique du découplage entre valeurs propres des sections 5 et 6, mais nous n'avons pas su répondre à une question plus ambitieuse:
Existe-t-il des potentiels périodiques dont la géodésique d'Agmon reliant les puits les plus proches soit convexe (i.e. de courbure de signe constant)?


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Bernard Parisse
Tue Mar 25 14:27:08 MET 1997