L'inégalité de Jenssen

Exercice 1.1   Dans cet exercice on suppose que $(X,\mathcal{A},\mu )$ est un espace mésuré tel que $\mu(X)=1$ et $\varphi :X\rightarrow [0,+\infty [$ est une fonction connvexe, i. e.,

$$\varphi ((1-t)x+ty)\leq (1-t)\varphi (x)+t\varphi (y)\forall x, y \in \mathbb{R} \forall t\in [0,1].$$

1. Montrer que la fonction $x\rightarrow \frac{\varphi(x_0)-\varphi(x)}{x_0-x}$ est croissante.
2. On pose $E_{\varphi}=\{(a,b)\in \mathbb{R}^2;\varphi (x)\geq ax+b\,\forall x\in \mathbb{R}\}.$ Montrer que
   $$\varphi (x)=\sup_{(a,b)\in E_{\varphi}}(ax+b).$$

3. En déduire que si $f\in \mathcal{L}^1(X,\mathcal{A},\mu )$, alors
   $$\int _X\varphi \circ f d\mu \geq \varphi (\int _Xf d\mu ).$$

4. En déduire que si $x_i\in \mathbb{R}$ alors
   $$e^{\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}}\leq \frac{e^{x_1}+\cdots e^{x_n}}{n}.$$

5. En déduire que si $y_i>0, \forall i$ alors on a
   $$(y_1\cdots y_n)^{\frac{1}{n}}\leq \frac{y_1+\cdots y_n}{n}.$$