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Maths MIAS2 TP11: Orthonormalisation 2003/4

On considère un espace euclidien E, muni d'un produit scalaire que l'on représentera par une variable dans un logiciel de calcul formel. Par exemple on peut le noter f, où f est une fonction de 2 variables, telle que si x et y sont deux variables représentant des éléments x et y de E, alors le produit scalaire de x et y est donné par f(x,y).

Exercice 1 : (à rendre à la fin de la séance)
Définissez sur votre logiciel le produit scalaire de 2 vecteurs dans les cas suivants :

  1. E1 = $ \mathbb {R}$n muni du produit scalaire usuel (on pourra représenter un élément de E1 par une liste à n éléments)
  2. E2 est l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n, muni du produit scalaire :

    P.Q = $\displaystyle \int_{-1}^{1}$P(t)Q(tdt

    on pourra représenter le polynôme P par l'expression P(x).
  3. E3 est l'espace vectoriel des fonctions engendré par les cos(t)k pour k $ \leq$ n avec comme produit scalaire

    f.g = $\displaystyle {\frac{1}{2 \pi}}$$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}$f (t)g(tdt

    on pourra reprsenter la fonction f par l'expression f (x).

Exercice 2 : (à rendre à la fin de la séance)
Il s'agit d'écrire un programme ortho mettant en oeuvre l'algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. Le programme ortho aura deux paramètres: une liste l de longueur k représentant une famille v1,..., vk de vecteurs de E avec k $ \leq$ dim(E), et une fonction f représentant le produit scalaire. Il renverra une liste formé de k vecteurs normés et orthogonaux w1,..., wk de E tels que l'espace vectoriel engendré par w1,..., wl soit le même que celui engendré par v1,..., vl pour 1 $ \leq$ l $ \leq$ k. Pour des raisons d'efficacité, on pourra commencer par orthogonaliser la famille.

Exercice 3 : (à rendre au début du TP12)
Tester votre programme avec une famille de 3 vecteurs aléatoires de E1 = $ \mathbb {R}$3 (si la famille n'est pas libre, refaites un tirage aléatoire). Tester avec E2 les polynômes de degré inférieur ou égal à 5 et la famille 1, x, x2, x3, x4, x5. Tester avec E3 pour n = 5 et la famille 1, cos(x), cos(x)2, cos(x)3, cos(x)4, cos(x)5.

Exercice 4 : (à rendre au début du TP12)
Dans l'exemple de $ \mathbb {R}$3 ci-dessus, on écrit en colonnes les 3 vecteurs aléatoires, ce qui constitue une matrice M carrée de taille 3. On écrit en colonnes les 3 vecteurs de la famille orthonormalisé obtenue, ce qui constitue une matrice orthogonale Q. On pose M = QR. Calculez R, que peut-on dire de cette matrice? Montrez que l'on peut faire ce type de décomposition pour toute matrice carrée inversible (on rappelle que le processus d'orthonormalisation vérifie Vect (v1,..., vl)=Vect (w1,..., wl)).




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Bernard Parisse 2004-06-04