Rappels du cours

On sait que les coefficients de Fourier d'une fonction, 2$\pi$-périodique et intégrable sur tout intervalle fermé borné, sont définis pour n $\in$ $\mathbb {Z}$ et pour $\alpha$ $\in$ $\mathbb {R}$ par :

c_n(f )= $${\frac{1}{2\pi}}$$$$\int_{\alpha}^{\alpha+2\pi}$$f (t)e^-intdt

et que la série de Fourier associée à f est :

SF(f )(x) = $$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}$$c_n(f )e^inx

On peut aussi définir les coefficients de Fourier réels pour n $\in$ $\mathbb {N}$ et pour $\alpha$ $\in$ $\mathbb {R}$ par :

$${\frac{1}{\pi}} \int_{\alpha}^{\alpha+2\pi}$$ a_n(f ) =

$${\frac{1}{\pi}} \int_{\alpha}^{\alpha+2\pi}$$ b_n(f ) =

On a alors :

SF(f )(x) = $${\frac{a_0(f)}{2}}$$ + $$\sum_{n=1}^{+\infty}$$(a_n(f )cos(nx) + b_n(f )sin(nx))

Théorème de Dirichlet
Si au point x₀, f admet une limite à droite et une limite à gauche (que l'on note f (x₀ + 0) et f (x₀ - 0)), ainsi qu' une dérivée à droite et une dérivée à gauche, alors la série SF(f )(x₀) converge vers ${\frac{1}{2}}$(f (x₀ - 0) + f (x₀ + 0)).
En particulier si f est dérivable pour tout x, SF(f )(x) converge vers f (x).

Exercice 1 (à rendre à la fin de la séance)
Trouver le développement

SF(f )(x) = $$\sum_{k=0}^{\infty}$$a_k(f )cos(kx) + b_k(f )sin(kx)

en séries de Fourier de la fonction f périodique de période 2$\pi$ définie par :

f (x) = x pour exp(x/2) $$\in$$ ] - $$\pi$$; $$\pi$$].

On note :

SF(f )_n(x) = $$\sum_{k=0}^{n}$$a_k(f )cos(kx) + b_k(f )sin(kx)

Donner la valeur et tracer sur un même graphique et pour x $\in$ [- 4;4] les graphes des fonctions suivantes :

f (x), SF(f )₁(x), SF(f )₂(x), SF(f )₃(x), SF(f )₄(x), SF(f )₅(x), SF(f )₆(x)