Arithmétique des polynômes.

Comme pour les entiers, on peut faire la division euclidienne de deux polynômes $A$ et $B$ de degrés $a$ et $b$, on obtient le quotient $Q$ de degré $a-b$ (si $a\geq b$) et le reste $R$ de degré strictement inférieur à $b$ vérifiant l'égalité :

$$A=BQ+R$$

L'algorithme d'Euclide permet de calculer le PGCD de deux polynômes exactement comme pour calculer le PGCD de deux entiers.

Algorithme de Bézout (dit aussi PGCD étendu): lorsque deux polynômes $A$ et $B$ ont comme PGCD le polynôme $D$, il existe deux polynômes $U$ et $V$ tels que :

$$AU+BV=D$$

Exercice 1 (à rendre à la fin de la 1ère séance de TP) :
Application à la recherche de racines multiples.
Rappel : Si $x$ est une racine de mulitplicité $n$ de $P$, alors $x$ est une racine de multiplicté $n-1$ de $P'$, $n-2$ de $P'{'}$, etc. En particulier si $P$ et $P'$ sont premiers entre eux, toutes les racines de $P$ sont de multiplicité 1.
On considère le polynôme

$$P(x)=72*x^6+276*x^5+-106*x^4+-217*x^3+72*x^2+44*x-16$$

Calculer avec un logiciel de calcul formel $P'$ et $P'{'}$, le PGCD de $P$ et $P'$ et le PGCD de $P'$ et $P'{'}$. En déduire que $P$ admet un facteur de multiplicité 3 et un facteur de multiplicité 2.

Exercice 2 (à rendre à la fin de la 1ère séance de TP) :
Application au calcul de l'intégrale :

$$\int \frac{1}{x^4-16} \ dx$$

On factorise le dénominateur de la fraction sous la forme $(x^2-4) \times (x^2+4)$. Déterminer avec un logiciel de calcul formel deux polynômes $U$ et $V$ tels que :

$$1= U (X^2-4) + V (X^2+4)$$

en déduire que l'intégrale de départ vaut :

$$\int \frac{U(x)}{x^2+4} \ dx + \int \frac{V(x)}{x^2-4} \ dx$$

calculer ces intégrales en expliquant quels calculs intermédiaires vous avez effectués avec le logiciel.

Exercice 3 (à rendre au début de la 3ème séance de TP) :
Application au calcul de l'intégrale

$$\int \frac{x^6+2}{(x^3+1)^2} \ dx$$

Effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur pour se ramener à l'intégrale d'une fraction dont le numérateur $N$ est de degré inférieur au dénominateur. Soit $P=X^3+1$, calculer $P'$ et le PGCD de $P$ et $P'$, en déduire qu'il existe des polynômes $U$ et $V$ tels que:

$$N=UP+VP'$$

calculer ces deux polynômes avec un logiciel. On décompose alors l'intégrale en deux morceaux :

$$\int \frac{N}{P^2}=\int \frac{U}{P} + \int V \frac{P'}{P^2}$$

Faites une intégration par parties sur le deuxième terme et en déduire la valeur de l'intégrale du départ.