et 
. La contraction permet de définir
un tenseur de type (k-1,l-1):
On fixe tous les indices sauf l'indice covariant et l'indice contravariant
par rapport auxquels on va effectuer la contraction. On obtient alors
un endomorphisme 
de TM,
il est défini en coordonnées locales par
ou plus géométriquement, un tenseur d'ordre (1,1) est une application
bilinéaire de 
donc si on fixe un vecteur v
de TmM on a une forme linéaire sur T*mM c'est-à-dire
un vecteur 
de TmM=(T*mM)*.
On calcule alors la trace de cette application linéaire. On a ainsi défini un tenseur d'ordre (k-1,l-1). En coordonnées locales, on a:
ce qui justifie la notation que l'on a choisie pour le tenseur CT.
Pour les tenseurs entièrement covariants ou entièrement contravariant, on peut définir les opérations de symétrisation et d'antisymétrisation.