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\newtheorem{meg}{Mise en garde}
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\title{Mat 406 }
\date{19/05/2019}

\begin{document}
% \maketitle
{\Large \noindent UGA \hfill Mat406 \hfill 2025/26}

\begin{center}
Examen du 25 juin, 15h-17h.\\
{\em Documents interdits \`a l'exception d'une feuille manuscrite A4
  recto-verso. Calculatrice autoris\'ee.\\ T\'el\'ephones portables, ordinateurs,
  ... interdits.\\
On pourra justifier le résultat de tout calcul fait à la calculatrice 
en indiquant sur la copie la commande utilisée.\\
%Ce sujet comporte deux pages 
Barême indicatif non contractuel~: 8, 4, 8.
}
\end{center}

\section{Point fixe et Newton}
Soit $P$ le polyn\^ome d\'efini par~:
$$ P(x)=x^4+x-3$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $P$ admet une unique racine r\'eelle positive $r>0$.
\item Rappeler la suite it\'erative de la m\'ethode de Newton
  appliqu\'ee \`a $P$.
\item Donner une valeur $u_0$ initiale pour laquelle on peut assurer
que la m\'ethode de Newton converge vers $r$.
\item D\'eterminer une valeur approch\'ee de $u_4$.
\item D\'eterminer en la justifiant une majoration de $|u_4-r|$.
\item Discuter la pr\'ecision du calcul approch\'e de 
$P(u_4)$ en supposant que les nombres approch\'es sont
repr\'esent\'es avec une pr\'ecision de 15 d\'ecimales.
\item On r\'e\'ecrit l'\'equation $P(x)=0$ sous la forme
$f(x)=x$ avec
$$f(x)=3-x^4$$
Peut-on appliquer la m\'ethode du point fixe à $f$ pour trouver une valeur
approch\'ee de $r$~? Si oui, le faire et donner une majoration de
l'erreur, si non, le justifier.
\end{enumerate}


\section{Intégration approchée}
Déterminer une valeur approchée de
\[ \int_0^1 \cos(x^3) \ dx \]
en appliquant la méthode du point milieu avec $N=10$ 
subdivisions. Donner et justifier
une majoration de l'erreur commise.

\section{S\'erie enti\`ere}
On pose
$$ F(x) = \int_0^x \cos(t^3) \ dt$$
\begin{enumerate}
\item Donner le d\'eveloppement en s\'eries enti\`eres de
$\cos(t^3)$ en $t=0$ et son rayon de convergence.
\item En d\'eduire $S(x)$ le d\'eveloppement en s\'eries
de $F(x)$ en $x=0$. On notera $S_N(x)$ la somme
des $N$ premiers termes non nuls de $S(x)$.
\item Montrer que $S(1)$ 
est une s\'erie altern\'ee, en d\'eduire une majoration de l'erreur
si on approche $F(1)$ par $S_N(1)$
la somme des $N$ premiers termes du
de $S(1)$.
\item On veut approcher $F(2)$ par $S(2)$.
\`A partir de quel ordre, la s\'erie donn\'ee par $S(2)$ est-elle
altern\'ee~? En d\'eduire une majoration de l'erreur si
on approche $F(2)$ par $S_N(2)$
la somme des $N$ premiers termes du
de $S(2)$.
 \item D\'eterminer $N$ tel que l'erreur soit inf\'erieure \`a
   \verb|1e-2| % evalf(2.0^66/23!);
\item D\'eterminer $S_N(2)$ pour cette valeur de $N$.
\item Discuter la pr\'ecision de $S_N(2)$ (indication, comparer
la valeur de $|S_N(2)|$ et celle du plus grand terme en valeur
absolue de la somme d\'efinissant $S_N(2)$)
\end{enumerate}


\end{document}