Table des matières

• Chapitre 1  Motivations
  • 1.1  L’équation de la chaleur.
  • 1.2  L’équation des ondes.
• Chapitre 2  Rappels d’algèbre linéaire.
  • 2.1  Rappels sur les espaces vectoriels : définitions et exemples.
  • 2.2  Familles libres, génératrices, bases et coordonnées.
  • 2.3  Applications linéaires.
  • 2.4  Calcul Matriciel.
  • 2.5  Matrices carrées
• Chapitre 3  Formes bilinéaires.
  • 3.1  Le produit scalaire canonique sur $\mathbb{R}^3$.
  • 3.2  Formes bilinéaires : définitions et exemples.
  • 3.3  Formes bilinéaires : représentation matricielle.
  • 3.4  Orthogonalité.
  • 3.5  Calcul effectif d’une base $\varphi$-orthogonale.
    • 3.5.1  Lien avec la forme quadratique correspondante.
    • 3.5.2  Algorithme de Gauss, signature
• Chapitre 4  Produits scalaires.
  • 4.1  Rappels dans le plan et l’espace
    • 4.1.1  Dans le plan
    • 4.1.2  Dans l’espace
  • 4.2  Définitions et exemples.
  • 4.3  Géométrie.
  • 4.4  Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
  • 4.5  Exemples de problèmes de minimisation.
    • 4.5.1  Projection sur un plan de l’espace.
    • 4.5.2  Régression linéaire
    • 4.5.3  Résolution au sens des moindres carrés. $\spadesuit$
    • 4.5.4  Approcher une fonction continue par une fonction affine
    • 4.5.5  Projection sur les polynômes trigonométriques
  • 4.6  Diagonalisation orthogonale des matrices symétriques.
  • 4.7  Matrices orthogonales.
• Chapitre 5  Séries numériques.
  • 5.1  Convergence des séries
  • 5.2  Les séries et le calcul sur machine.
• Chapitre 6  Séries de Fourier.
  • 6.1  Approximants de Fourier, coefficients de Fourier et séries de Fourier : définitions et exemples.
  • 6.2  Séries en sin et cos.
  • 6.3  Convergence des séries de Fourier.
  • 6.4  Solutions d’équations aux dérivées partielles.
    • 6.4.1  L’équation de la chaleur.
    • 6.4.2  L’équation des ondes.
    • 6.4.3  Vers la mécanique quantique
  • 6.5  La transformée de Fourier.
• Annexe A  Appendice : espace-temps, bases et forme de Minkowski.
• Annexe B  Appendice : le tenseur d’inertie d’un corps rigide.
  • B.1  Application : rotation libre d’un objet avec symmétrie rotationelle.
• Annexe C  Appendice : les coniques et quadriques.
• Annexe D  Appendice : Formes hermitiennes.
• Annexe E  Utilisation de la calculatrice
  • E.1  Casio Graph 90+e/35eii
    • E.1.1  Généralités
    • E.1.2  Interrompre/effacer.
    • E.1.3  Algèbre (bi-)linéaire
    • E.1.4  Coefficients de Fourier
    • E.1.5  Courbes
    • E.1.6  Équations différentielles

Index

Chapitre 1  Motivations

Les séries de Fourier permettant d’écrire une fonction périodique (par exemple un signal périodique) comme une somme de fonctions périodiques fondementales (sinus et cosinus, ou exponentielle imaginaire pure). Le but est de simplifier la résolution de problèmes qui vérifient le principe de superposition et faisant intervenir des fonctions périodiques en se ramenant à ces fonctions périodiques fondementales.

Exemple: écriture approchée de $\frac{1}{2+\sin(t)}$ comme somme de fonctions sinusoides fondementales $$\frac{\sqrt{3}}{3}+ \frac{-14 \sqrt{3}+24}{3} \cos\left(2\cdot t\right)+\frac{194 \sqrt{3}-336}{3} \cos\left(4\cdot t\right)+\frac{52 \sqrt{3}-90}{3} \sin\left(3\cdot t\right)+\frac{-4 \sqrt{3}+6}{3} \sin\left(t\right)$$

f1:=1/(2+sin(t));
g1:=(sqrt(3))/3+(-14*sqrt(3)+24)/3*cos(2*t)+(194*sqrt(3)-336)/3*cos(4*t)+
(52*sqrt(3)-90)/3*sin(3*t)+(-4*sqrt(3)+6)/3*sin(t);
plot([f1,g1],t,-pi,pi,color=[red,blue]);

exeonload
Il faut vraiment zoomer pour voir la différence

plot([f1,g1],t,-0.1,0.1,color=[red,blue]);

exeonload

Une application immédiate des séries de Fourier est l’analyse d’un son. Si on gratte sur une corde de guitare, on observe un phénomène périodique en temps, qui se décompose en une somme de sinusoides dont la fréquence est un multiple entier de la fréquence de base. Pour une même note de musique (par exemple un la à 440Hz), une guitare, un piano, une flute ne donneront pas le même son parce que les harmoniques sont différents. Voici 2 sons purs de fréquence 440Hz et 880Hz, et deux sons de fréquence de base 440Hz avec une harmonique n’ayant pas le même coefficient.
omega:=2*pi*440; s1:=sin(omega*soundsec(1)):; s2:=sin(2*omega*soundsec(1)):; playsnd(2^14*s1); exe
playsnd(2^14*s2); exe
playsnd(2^14*(s1+s2)); exe
playsnd(2^14*(s1+2*s2)); exe
playsnd(2^14*(2*s1+s2)); exe
N.B. : la commande l:=soundsec(t) renvoie une liste $l$ de réels de la forme $k/44100$ pour $k \in [0,44100*t]$, par exemple
1.0/44100; soundsec(0.0002) exe

Ceci permet de générer un son de durée $t$ secondes échantilloné à 44.1 kHz (qualité sonore d’un CD audio) pour la commande playsnd. Si on calcule $\sin(2\pi f l)$, on obtient la liste des sinus des réels $\sin(2\pi f k/44100)$, si on en trace la représentation graphique (avec en abscisse $k$) on obtient une sinusoide avec $f$ périodes. f:=2; omega:=2*pi*f;plotlist(2^14*sin(omega*soundsec(1)) exe

On pourrait ainsi numériser le son en stockant les coefficients des sinusoides pour la fréquence de base et de ses multiples (les harmoniques) jusqu’à la limite de sensibilité de l’oreille humaine. D’une certaine manière c’est ce que fait une partition de musique en donnant une succession de notes d’une certaine durée à jouer par des instruments de musique (chaque note jouée par un instrument correspondant en quelques sorte à une série de Fourier). Si on représente graphiquement la liste des coefficients des harmoniques en fonction des multiples de la fréquence de base, on obtient le spectre, qui donne une description complète du son (et qu’on peut manipuler avec des logiciels comme audacity par exemple faire l’analyse spectrale du son, supprimer des harmoniques trop aigües...). Voir par exemple ce document

Plus généralement, on parle d’analyse spectrale. Cette idée de décomposer en somme de fonctions périodiques“pures” s’applique à diverses généralisations des séries de Fourier : la transformée de Fourier (qui peut servir à comprendre la lumière, les couleurs correspondant à des fréquences, mais vues comme un paramètre continu variant dans $\mathbb{R}^+$ et non discret restreint aux harmoniques d’une fréquence de base), et la transformée de Fourier discrète, adaptée au calcul sur machine.

Un exemple plus mathématique, si on veut résoudre une équation différentielle linéaire à coefficients constants avec second membre périodique (ressort soumis à un forçage périodique en temps, circuit RLC soumis à une source périodique en temps, ...), on a des formules simples pour trouver une solution particulière si le second membre est un sinus ou un cosinus (impédance complexe). Le principe de superposition s’applique (pour obtenir la solution particulière correspondant à un second membre somme de deux fonctions, il suffit de faire la somme des solutions particulières correspondant à chacune des deux fonctions). Bien sur, on sait résoudre ces équations différentielles avec un second membre quelconque, mais la forme de la solution n’est pas toujours explicite

desolve(x''+3x'+2x=f1,t,x) exe
et même si elle l’est, elle peut être compliquée et ne pas faire apparaitre certaines propriétés. L’existence de certains phénomènes, par exemple d’une fréquence de résonance ou d’un filtre passe-haut ou passe-bas, et la décomposition en somme de fréquences va permettre de mettre en évidence des propriétés de la solution particulière plus facilement

desolve(x''+3x'+2x=(-14*sqrt(3)+24)/3*cos(2*t),t,x) exe

Historiquement, les séries de Fourier ont été inventées par Fourier pour résoudre le problème de la diffusion de la chaleur. On ne sait pas résoudre analytiquement l’équation de la chaleur, mais on va voir qu’on sait le faire lorsqu’on décompose la température initiale en somme de cosinus. On va aussi voir que la méthode utilisée pour l’équation de la chaleur est suffisamment générale pour s’appliquer dans d’autes cas, par exemple pour l’équation des ondes (qui elle se résoud analytiquement).

Mathématiquement, les concepts qui interviennent sont 

1. de l’algèbre linéaire (principe de superposition)
2. des sommes (de fonctions sinusoides) qui ne sont pas finies (puisqu’il y a une infinité de multiples entiers d’une fréquence de base), on les appelle des séries
3. ces séries sont plus difficiles à étudier que des sommes de nombres réels, car il s’agit de fonctions. Pour donner un sens à la valeur d’une somme infinie de fonctions, il faut donner un sens à être petit pour une fonction, pour les séries de Fourier, le bon cadre pour cela est l’algèbre bilinéaire et les formes quadratiques.
4. Les formes quadratiques particulières qui interviennent pour les séries de Fourier sont des produits scalaires qui généralisent le produit scalaire usuel dans $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$. D’autres formes quadratiques ont des applications en physique, par exemple les trajectoires du problème à 2 corps (un astre en orbite autour d’un autre) sont des coniques dont l’équation cartésienne fait intervenir une forme quadratique, ou encore la relativité qui fait intervenir des formes quadratiques qui ne sont pas des produits scalaires, ou la mécanique quantique où les fonctions d’ondes sont des vecteurs de norme 1 d’un $\mathbb{C}$-espace vectoriel muni d’un produit scalaire (hermitien).

1.1  L’équation de la chaleur.

Considérons une tige chauffée de façon inhomogène, par exemple une tige métallique qui vient de servir à remuer les braises d’un feu de bois. Comment se diffuse la chaleur dans cette tige ?

On a donc une tige de longueur finie $L$ dont la température initiale (au temps $t=0$) en un point d’abscisse $x$ est donnée par une fonction $T_{\mbox{init}}(x) =T(x,t=0), \ x \in [0,L]$. Dans l’exemple de la tige retirée du feu de bois, si l’extrémité de la tige est en $x=L$, alors $T_{\mbox{init}}(x)$ est une fonction croissante de $x$ ($T_{\mbox{init}}(L)$ vaut peut-etre 100 degrés, alors que $T_{\mbox{init}}(0)$ est proche de 20 degrés). On suppose que les échanges de chaleur entre la tige et l’air sont négligeables et que les extremités de la tige sont au contact d’un parfait isolant, ce qui implique qu’il n’y a pas de flux de chaleur à travers ces extrémités. En particulier le gradient de la température y est nul. On veut comprendre comment la chaleur se diffuse dans la barre avec le temps ; autrement dit, si $T(x,t)$ est la température dans la tige au point $x$ en un temps $t$, alors on veut comprendre l’évolution de la valeur de $T(x,t)$ avec $t$.

Si la température croit lorsque $x$ augmente, la chaleur va aller vers les $x$ décroissant, d’autant plus vite que $\frac{\partial T}{\partial x}$ est grand. Si on considère un petit élément de tige entre $x$ et $x+dx$, la chaleur entrante en $x+dx$ est proportionelle à $\frac{\partial T}{\partial x}(x+dx)$ et la chaleur sortante en $x$ à $\frac{\partial T}{\partial x}(x)$ donc on a un bilan de chaleur entrant de $\frac{\partial T}{\partial x}(x+dx)-\frac{\partial T}{\partial x}(x)$, qui va réchauffer le morceau de tige entre $x$ et $x+dx$, donc est proportionnel à $\frac{\partial T}{\partial t} dx$ Les lois de la physique entrainent donc que $T$ doit satisfaire à l’équation, dite équation de la chaleur : $$\frac{\partial T}{\partial t}= k \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$$ où $k$ est une constante positive (la diffusivité) qui dépend du matériau (proportionnelle à sa conductivité thermique).

Nous avons en plus les conditions au bord $$\frac{\partial T}{\partial x}(0,t)= \frac{\partial T}{\partial x}(L,t)= 0 \ \mbox{ pour tout }\ t,$$ qui traduisent l’absence de flux de chaleur à travers les extrémités, et la condition initiale $$T(x,t=0)= T_{\mbox{init}}(x).$$ Oublions d’abord la condition $T(x,0)=T_{\mbox{init}}(x)$. Autrement dit, on cherche les solutions vérifiant seulement les conditions au bord $$\frac{\partial T}{\partial x}(0,t)= \frac{\partial T}{\partial x}(L,t)= 0 \ \mbox{ pour tout }\ t.$$ L’équation étant beaucoup trop compliquée pour être résolue avec les méthodes dont nous disposons actuellement, nous allons commencer par simplement chercher des exemples de fonctions qui la satisfont. Les fonctions à variables séparées (c’est-à-dire s’écrivant dans la forme $T(x,t)=f(x)g(t)$) sont une source féconde d’exemples satisfaisant à des équations aux dérivées partielles, puisque de telles équations se simplifient souvent dans ce cas. Nous commencerons donc par chercher des solutions de la forme $T(x,t)=f(x)g(t)$. On a alors : $$f(x)g'(t)=kf''(x)g(t),$$ soit $$\frac{f''(x)}{f(x)}=\frac{g'(t)}{kg(t)},$$ au moins sur la région ou ni $f$ ni $g$ ne s’annule. Notons que le membre de gauche est une fonction qui ne dépend que de $x$ et le membre de droite est une fonction qui ne dépend que de $t$ : comme $x$ et $t$ sont indépendantes, cela implique qu’il existe $\alpha\in\mathbb{R}$ tel que $$\frac{f''(x)}{f(x)}=\frac{g'(t)}{kg(t)}=\alpha.$$ Ainsi, on a $$f''(x)-\alpha f(x)=0$$ et $$g'(t)-k\alpha g(t)=0.$$ On a donc $g(t)=\lambda e^{k\alpha t}$ pour $\lambda\in\mathbb{R}$, et donc $g(t)\neq 0$ pour tout $t\geq 0$ (car on cherche $T$ non identiquement nulle). La contrainte $$\frac{\partial T}{\partial x}(0,t)=\frac{\partial T}{\partial x}(L,t) =0$$ entraîne alors $f'(0)=f'(L)=0$. Pour résoudre l’équation en $f$ il nous faut maintenant distinguer 3 cas.

1. Cas 1 : $\alpha=0$. On a alors $f''(x)=0$, et donc $f(x)=b_0x+a_0$. Les conditions $f'(0)=f'(L)=0$ imposent alors facilement $f(x)=a_0$ pour tout $x$. On a donc une première solution de base $$T_0(x,t)=1.$$
2. Cas 2 : $\alpha>0$. On peut exclure ce cas par des considérations physiques, car $g$ serait exponentiellement croissante. D’un point de vue mathématique, on peut alors poser $\alpha=\omega^2$ et $f$ est de la forme $f(x)=a e^{\omega x}+ be^{-\omega x}$. Les conditions que $f'(0)=0$ et $f'(L)=0$ impliquent alors $a=b=0$, et $f$ est identiquement nulle, ce qui est exclu.
3. Cas 3 : $\alpha<0$. On peut alors poser $\alpha=-\omega^2$ et $$f(x)=a\cos(\omega x)+b\sin(\omega x), a,b,\in\mathbb{R}.$$ Puisque $f'(0)=0$ on a $b=0$, et puisque $f'(L)=0$ on a $a\sin(\omega L)=0$. Puisque l’on cherche $T$ non nulle, on a $a\neq 0$ et donc $\sin(\omega L)=0$.

   Ainsi $\omega L=\pi n$ pour $n\geq 0$ entier (remarque : ceci quantifie les $\omega$ possibles qui prennent une suite discrète de valeurs), et donc pour chaque $n$, on a une solution de la forme $$T_n(x,t)=\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\frac{\pi^2 n^2}{L^2}kt}.$$

Pour chaque entier positif $n\geq 0$ nous avons donc une solution de l’équation de la chaleur $$T_n(x,t)=\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\frac{\pi^2 n^2}{L^2}kt}.$$ (Nous pouvons intégrer la solution $T_0(x,t)=1$ dans cette famille de solutions en considérant qu’il s’agit de $T_0(x,t)= \cos(0x)e^{-0t}$.) La condition initiale $T_{\mbox{init},n}(x)$ correspondant à la solution $T_n(x,t)$ est donnée par $T_{\mbox{init},n}(x)= T_n(x,0)$, c’est à dire $$T_{\mbox{init},n}(x)= \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right).$$ Nous avons donc trouvé une solution à l’équation de la chaleur pour certaines conditions initiales bien particulières, c’est à dire certains cosinus. Est ce qu’on peut en construire d’autres solutions pour d’autres conditions initiales ?

Notons tout d’abord que l’équation de la chaleur à une propriété très utile :

Exercice. Démontrer que l’équation de la chaleur est une équation linéaire.

En particulier, toute fonction qui est une combinaison linéaire finie $$T(x,t)=\lambda_0 T_0(x,t)+\lambda_1 T_1(x,t)+\lambda_2T_2(x,t)+\ldots +\lambda_n T_n(x,t)$$ avec des nombres réels $\lambda_0, \ldots, \lambda_n$ est encore une solution de l’équation de la chaleur. Cette solution corresponde à la condition initiale $$T_{\mbox{init}}(x)=T(x,0)$$ c’est à dire $$T_{\mbox{init}} (x)= \lambda_0+ \lambda_1 \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)+\lambda_2\cos\left(\frac{2 \pi x}{L}\right) +\ldots + \lambda_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right).$$ Nous savons donc trouver une solution pour l’équation de la chaleur pour certaines conditions initiales bien particulières : celles qui s’écrivent comme des sommes finies de cosinus.

Et il vient assez naturellement l’idée : Peut-on résoudre cette équation de la même façon pour une condition initiale $T_{\mbox{init}}$ quelconque en l’écrivant comme une “somme infinie” de cosinus ?

1.2  L’équation des ondes.

Pour illustrer que la méthode utilisée pour l’équation de la chaleur est pertinente, nous allons voir qu’elle peut s’appliquer à une équation que l’on sait résoudre autrement : l’équation des ondes.

Un fil horizontal de longueur $L$, soumis à une tension $T$ et de densité linéaire $\mu$, est tenu aux deux extremités. Par exemple une corde de guitare de longueur $L=3$ pincée en un point d’abscisse 1 et d’ordonnée très petite (0.2 sur le dessin) aura le profil suivant

gl_ortho=1; L:=3; P:=point(1,0.2); segment(0,P);segment(P,L);

exeonload
Au temps $t=0$ il est relaché et se met à osciller librement dans un plan vertical.

Soit $y(x,t)$ la fonction égale au déplacement vertical¹ à l’instant $t$ de la partie du fil qui se trouve (à l’équilibre) à une distance $x$ d’une des extremités.
Nous avons cette fois les conditions aux bords $$y(0, t)= y(L,t)=0,$$ qui traduisent le fait que le fil est attaché aux extrémités. Si le déplacement initial du fil est décrit par la fonction $y_{\mbox{init}}(x)$ alors nous avons aussi les conditions initiales $$y(x,0)= y_{\mbox{init}}(x)\ \mbox{ et }\ \frac{\partial y}{\partial t}(x,0)=0,$$ cette dernière condition traduisant le fait que le fil est relâché à l’instant $t=0$ et se trouve donc à ce moment-là au repos.

Si on considère le morceau de fil compris entre les abscisses $x$ et $x+dx$, il est soumis à deux forces :

• en $x+dx$, une traction d’intensité $T$ de direction et sens le vecteur directeur de la tangente $(1,y'(x+dx))$
• en $x$, une traction opposée portée par $(1,y'(x))$

Le principe fondemental de la dynamique donne alors $$\mu \frac{\partial ^2 y}{\partial t^2} dx = T(y'(x+dx)-y'(x))$$ L’évolution de $y$ est décrite (au premier ordre, car on a fait comme si le vecteur $(1,y')$ était normé, et on n’a pas tenu compte de la possible variation locale de tension si $y'$ est non nul) par l’équation des ondes $$\frac{\partial ^2 y}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$$ où $c$ est la constante positive $c^2=\frac{T}{\mu}$.

On sait déterminer la solution de cette équation, on prolonge $y_{\mbox{init}}$ par périodicité (période $L$), on a alors : $$y(x,t)=\frac{1}{2}(y_{\mbox{init}}(x+ct)+y_{\mbox{init}}(x-ct))$$ Cherchons comme ci-dessus des solutions de la forme $f(x)g(t)$. On a alors $$f(x)g''(t)=c^2f''(x)g(t),$$ soit $$\frac{f''(x)}{f(x)}=\frac{g''(t)}{c^2g(t)}.$$ Notons que le membre de gauche est une fonction qui ne dépend que de $x$ et le membre de droite est une fonction qui ne dépend que de $t$ : comme $x$ et $t$ sont deux variables indépendantes, cela implique qu’il existe $\alpha\in\mathbb{R}$ tel que $$\frac{f''(x)}{f(x)}=\frac{g''(t)}{c^2g(t)}=\alpha.$$ Ainsi, on a $$f''(x)-\alpha f(x)=0\ \mbox{ et }\ g''(t)-c^2\alpha g(t)=0.$$ Le même raisonnement que ci-dessus nous montre que cette équation a une solution telle que $y(0,t)= y(L, t)=0$ si et seulement si il existe un entier $n$ tel que $\alpha= -\frac{n^2\pi^2}{L^2}$ et dans ce cas on a une solution donnée par $$y_n(x,t)= \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos\left(\frac{ cn\pi t}{L}\right) .$$ Ceci nous donne une solution au problème pour une condition initiale $$Y_n(x)= \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right).$$ On vérifie bien que $y_n(x,t)=\frac{1}{2} (Y_n(x+ct)+Y_n(x-ct))$

Exercice Démontrer que l’équation des ondes est linéaire.

Puisque la fonction $y_n(x,t)$ est une solution pour chaque $n$, toute combinaison linéaire finie $$y(x,t)=\lambda_1 y_1(x,t)+\lambda_2y_2(x,t)+\ldots +\lambda_k y_k(x,t)$$ ou les $\lambda_k$ sont des nombres réels est encore une solution de l’équation de la chaleur. Cette solution correspond à la condition initiale $$y_{\mbox{init}} (x)= \lambda_1 \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)+\lambda_2\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) +\ldots + \lambda_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right).$$ Nous savons donc trouver une solution à cette équation pour des conditions initiales bien particulières : celles qui s’écrivent comme des sommes finies de sinus.

Il vient la même idée que dans le cas de l’équation de la chaleur : Peut-on résoudre cette équation pour une condition initiale quelconque $y_{\mbox{init}}$ en écrivant $y_{\mbox{init}}$ comme une “somme infinie” de sinus ?

Avant de se lancer dans des spéculations sur les sommes infinies de fonctions, il faudrait déjà savoir ce que veut dire une somme infinie de nombres. Dans un prochain chapitre, nous allons étudier les séries² numériques.

Puis nous remplacerons les nombres par des fonctions. Nous voudrions prendre une fonction $y_{\mbox{init}}(x)$, définie sur une intervalle $[0,L]$, et l’écrire comme une somme infinie de fonctions trigonométriques, dans l’espoir que cela nous permettra de résoudre l’équation de la chaleur avec condition initiale $y_{\mbox{init}}$.

Notons tout d’abord que la définition que nous avons donnée d’une somme infinie de nombres ne s’applique pas naturellement aux fonctions. En effet, la valeur d’une somme infinie s’exprime comme une limite d’une suite, et pouvoir parler de la limite d’une suite on a besoin d’une notion de distance - il faut pouvoir dire quand deux objets sont “proches”. Or, si cette notion est intuitive pour des nombres réels ou complexes, c’est beaucoup plus délicat de dire quand deux fonctions sont “proches” ou de définir une “distance” entre deux fonctions.

Mettons brièvement de côté cette difficulté. Si on nous donne une fonction $y_{\mbox{init}}$ sur une intervalle $[0,L]$, comment pourrait-on essayer d’écrire $y_{\mbox{init}}$ comme une somme infinie de fonctions trigonométriques ? Une première idée pourrait être de calculer cette somme par approximations successives : pour chaque entier $k$, on pourrait essayer de calculer $S_k(y_{\mbox{init}})$, qui serait le “meilleur approximant” de $y_{\mbox{init}}$, sous la forme $$a_0+ a_1\cos(\frac{\pi x}{L})+a_2\cos(2\frac{\pi x}{L})+\ldots + a_k\cos(k\frac{\pi x}{L})$$ Peut être qu’en prenant des valeurs de $k$ de plus en plus grandes, on trouvera des $S_k(y_{\mbox{init}})$, sommes trigonométriques finies, de plus en plus proches de $y_{\mbox{init}}$ ? Peut être que lorsque $k$ tend vers $\infty$, les $S_k(y_{\mbox{init}})$ convergeront vers une somme infinie de fonctions trigonométriques dont le résultat est $y_{\mbox{init}}$ ?

Cette idée d’écrire $y_{\mbox{init}}$ comme une somme infinie de fonctions trigonométriques par approximations successives est séduisante, mais pose beaucoup de questions :

1. Quel sens donner à une somme infinie de fonctions ?
2. Qu’est ce que ça veut dire, quand on dit que deux fonctions sont “proches” ?
   Comment quantifier la “distance” entre deux fonctions ?
3. Comment calculer effectivement cette “meilleure approximation” $S_k(y_{\mbox{init}})$ ?
4. Qu’est ce que cela signifie quand on dit qu’une suite de fonctions converge vers une autre fonction ?

Nous avons déjà commencé dans le chapitre précedent à répondre à la question 1), au moins dans le cas simple qui est celui d’une somme infinie de nombres. Nous chercherons maintenant à comprendre ce que peut vouloir dire une “bonne approximation” pour des fonctions. En effet, le premier problème que l’on rencontre lorsqu’on essaie de résoudre ces deux équations par une méthode d’approximations successives est celui de définir ce qu’on veut dire par une “bonne approximation”, ou une “distance” entre deux fonctions.³

Nous allons en particulier regarder de près la question suivante :
Supposons donnée sur un intervalle $[0,L]$ une fonction $f$. Comment faire pour trouver la meilleure approximation pour $f$ de la forme $$S_n(f)= a_0+ \sum_{j=1}^n a_j \cos\left(j \frac{\pi x}{L}\right)+b_j\sin \left(j\frac{\pi x}{L}\right)\; ?$$ Si nous ne disposons pas actuellement d’une bonne notion de distance entre des fonctions⁴ il existe bien des espaces pour lesquels on connait une définition de distance. Ce sont les espace géométriques $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$. De plus, dans ces espaces, il existe des algorithmes efficaces qui permettent, étant donnés un point $x$ et un plan ou droite $S$, de calculer le point de $S$ le plus proche de $x$.

Nous allons nous baser sur ce que nous savons sur $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ pour définir des distances entre fonctions (et plein d’autres choses). Dans le prochain chapitre, nous allons étudier la notion d’espace vectoriel, qui réunit (entre autres) les espaces géométriques et les espaces de fonctions.

1

par rapport à l’équilibre

2

C’est le nom que les mathématiciens donnent aux sommes infinies.

3

Nous serons particulièrement attentifs à la question de l’approximation d’une fonction quelconque par des sommes de fonctions trigonométriques $\sin(n\pi x)$ et $\cos(n\pi x)$, puisque ces fonctions, qui représentent mathématiquement les phénomènes physiques ondulatoires, occupent une place très importante dans les mathématiques au service de la physique.

4

Et encore moins d’un algorithme permettant de calculer ce “meilleur approximant” pour une fonction donnée...

Chapitre 2  Rappels d’algèbre linéaire.

2.1  Rappels sur les espaces vectoriels : définitions et exemples.

Un $\mathbb{R}$-espace vectoriel est un ensemble $V$ tel que la somme de deux éléments de $V$ est encore un élément de $V$, le produit d’un réel (appelé scalaire réel) par un élément de $V$ est encore un élément de $V$, et qui vérifie les propriétés habituelles des sommes et produits ($x+y=y+x$, existence d’un élément nul, d’un opposé, distributivité du produit par rapport à la somme...). L’exemple typique est l’ensemble des solutions d’un système homogène d’équations linéaires.

Un $\mathbb{C}$-espace vectoriel est défini de manière analogue en remplaçant $\mathbb{R}$ par $\mathbb{C}$, on peut donc multiplier un élément de $V$ par un complexe (un scalaire complexe).

Exemples :

1. $\mathbb{R}^n$, l’espace de vecteurs colonnes $\underline{X}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}$ avec $x_i\in \mathbb{R}$, est un espace vectoriel réel. L’espace $\mathbb{C}^n$ de vecteurs colonnes complexes est un espace vectoriel complexe.
2. $\mathbb{R}[X]$, l’espace de polynômes réels en une variable $X$, est un espace vectoriel réel. De même, $\mathbb{C}[Y]$, l’espace de polynômes complexes en une variable $Y$ est une espace vectoriel complexe.
3. $\mathbb{R}_n[X]$, l’espace de polynômes réels en une variable $X$ de degré $\leq n$, est un espace vectoriel réel. De même, $\mathbb{C}_n[Y]$, l’espace de polynômes complexes en une variable $Y$ de degré $\leq n$, est une espace vectoriel complexe.
4. $\mbox{M}_n(\mathbb{R})$, l’espace de matrices $n\times n$ à coefficients réels, est un espace vectoriel réel,
5. Pour tout $a<b\in \mathbb{R}$ l’espace $C^0([a,b],\mathbb{R})$ de toutes les fonctions continues réelles sur l’intervalle $[a,b]$, est un espace vectoriel réel.
6. Pour tout $a<b\in \mathbb{R}$ et tout entier $i>0$ l’espace $C^i([a,b],\mathbb{C})$ de toutes les fonctions $i$-fois continument dérivables à valeurs dans les complexes sur l’intervalle $[a,b]$, est un espace vectoriel complexe.

Vérifier tous ces axiomes est fastidieux. Heureusement dans la pratique, nous travaillerons souvent avec des espaces vectoriels qui sont inclus dans d’autres pour lesquels on a une procédure de vérification simplifiée.

On montre que l’ensemble $W$ est bien un espace vectoriel avec l’addition et la multiplication héritées de $V$.

2.2  Familles libres, génératrices, bases et coordonnées.

Si $v_n$ est une combinaison linéaire de $v_1,...,v_{n-1}$ $$v_n=\lambda_1 v_1+... + \lambda_{n-1} v_{n-1}$$ alors Vect$(v_1,...,v_{n-1})$=Vect$(v_1,...,v_n)$, on peut donc enlever $v_n$ de la famille génératrice sans changer l’espace vectoriel engendré.

Une base d’un espace vectoriel $E$ est une famille génératrice et libre. On peut obtenir une base en enlevant tous les éléments superflus d’une famille génératrice : on commence par enlever $v_1$ si $v_1=0$, puis $v_2$ si $v_2$ est combinaison linéaire de $v_1$, puis $v_3$ si $v_3$ est combinaison linéaire de $v_1,v_2$, etc.

Une base permet de représenter (de manière unique) un élément d’un espace vectoriel par un vecteur colonne.

L’écriture est unique sinon la famille $\{e_1, \ldots, e_n\}$ ne serait pas libre.

Soit $n$ le nombre d’éléments de cette base $B$ de $V$. Alors une famille libre de $V$ a au plus $n$ éléments. Sinon, considérons une famille libre $\{v_1,...,v_{n+1}\}$. On pose le système $$\lambda_1 v_1+...+\lambda_{n+1} v_{n+1}=0$$ en écrivant les coordonnées des vecteurs dans la base $B$. Ce système a plus d’inconnues ($n+1$) que d’équations ($n$) donc il admet une solution non identiquement nulle, ce qui est absurde car on a supposé la famille libre. (En faisant le pivot de Gauss on peut écrire le système sous forme échelonnée. Si on trouve un pivot dans les colonnes de 1 à $n$, on peut exprimer $\lambda_n$ en fonction de $\lambda_{n+1}$ avec la dernière équation, puis $\lambda_{n-1}$ en fonction de $\lambda_{n+1}$, etc. et on trouve une solution non identiquement nulle. S’il y a une colonne sans pivot, par exemple la troisième, alors on prend $\lambda_4=...=\lambda_{n+1}=0$, la deuxième équation donne $\lambda_2$ en fonction de $\lambda_3$ et la première équation $\lambda_1$ en fonction de $\lambda_2$.

On en déduit que :

Le résultat suivant sera souvent utilisé pour vérifier qu’une famille de vecteurs est une base.

En effet, si $v \in V$, alors la famille $\{e_1,\ldots, e_n,v\}$ n’est pas libre puisqu’elle a $n+1$ éléments, donc on a une combinaison linéaire non identiquement nulle $$\lambda_1 e_1+...+\lambda_ne_n+\lambda v=0$$ On a $\lambda \neq 0$ car $\{e_1,\ldots, e_n\}$ est libre, donc $v$ est combinaison linéaire de $\{e_1,\ldots, e_n\}$.

En effet, une famille libre de $W$ est une famille libre de $V$ donc a au plus $n$ éléments. On crée ensuite une famille libre de $W$ ayant un nombre maximal d’éléments, c’est une base de $W$.

Les coordonnées d’un élément $v\in V$ dans une base seront essentielles dans la suite, car elles nous permettront de ramener tous nos calculs à de simples multiplications de matrices. Il nous sera, d’ailleurs, souvent utile de simplifier nos calculs au maximum en choississant une base bien adaptée. Pour faire cela, il nous faut comprendre comment le vecteur $\underline{V}$ des coordonnées d’un élément $v\in V$ dans une base ${\bf e}$ se transforme lorsqu’on change de base.

Soit $\{e_1,...,e_n\}$ une base de $V$. Soit $\{f_1,...,f_n\}$ une autre base de $V$, et $v \in V$ tel que $$v_1f_1+...+v_nf_n=v$$ Cette équation devient un système si on remplace par les coordonnées des $f_i$ et de $v$ dans la base $\{e_1,...,e_n\}$. Ce système a pour inconnues les coordonnées de $v$ dans la base $\{f_1,...,f_n\}$, il a comme matrice $P$ la matrice de passage de $\{e_1,...,e_n\}$ vers $\{f_1,...,f_n\}$ et comme second membre les coordonnées de $v$ dans la base $\{e_1,...,e_n\}$. D’où le :

Il y a une généralisation de la notion de base qui sera utile dans la démonstration d’un théorème ultérieur.

On montre aussi que :

2.3  Applications linéaires.

Considérons maintenant la classe des applications qui préservent la structure d’un espace vectoriel.

Dans le cas où l’espace d’arrivée est $\mathbb{R}$ on dira que $\varphi$ est une forme linéaire

Pour définir une application linéaire entre deux espaces vectoriels sur $\mathbb{C}$, on remplace ci-dessus $\mathbb{R}$ par $\mathbb{C}$

Exemples :

1. L’application $\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^2$ donnée par $\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$ est linéaire. Elle l’est aussi de $\mathbb{C}^3\rightarrow \mathbb{C}^2$.
2. L’application $\mathbb{C}^3\rightarrow \mathbb{C}^2$ donnée par $\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x\\y+1 \end{pmatrix}$ n’est pas linéaire.
3. L’application de $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ définie par $\varphi(z)=\overline{z}$ n’est pas linéaire. Mais si on considère $\mathbb{C}$ comme un $\mathbb{R}$-espace vectoriel (de dimension 2) elle le devient.
4. L’application des fonctions continument dérivables dans les fonctions continues ($C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})\mapsto C^0(\mathbb{R}\mathbb{R})$), définie par $f \mapsto f'-2f$ est linéaire.
5. L’application de transposition dans l’espace vectoriel des matrices carrées $M_n(\mathbb{C}) \mapsto M_n(\mathbb{C})$ donnée par $M\mapsto {}^tM$ est linéaire.
6. L’application de l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 dans l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal à 1 $\mathbb{R}_3[X] \mapsto \mathbb{R}_1[X]$, $P\mapsto P''$, est une application linéaire.

Exercices

1. Montrer que le noyau et l’image d’une application linéaire sont des sous-espaces vectoriels.
2. Calculer l’image et le noyau des applications linéaires données en exemple.

On rappelle le théorème du rang, dont nous aurons besoin dans une démonstration ultérieure.

Preuve : on prend une base $\{ v_1, ..., v_n\}$ de $V$, les images $\{ \varphi(v_1), ..., \varphi(v_n) \}$ forment une partie génératrice de Im$\varphi$ qui est donc de dimension finie, on prend une base de Im$\varphi$ et on écrit les coordonnées des vecteurs images dans une matrice (en ligne $i$, les coordonnées de $\varphi(v_i)$). On ajoute une colonne contenant les vecteurs $v_1,...,v_n$ pour savoir de quel vecteur on a l’image. On applique le pivot de Gauss. On obtient une matrice échelonnée dont les lignes non nulles (colonne rajoutée non comprise) forment une base de Im$\varphi$, et les lignes nulles sont les images d’une base de Ker$\varphi$, base que l’on lit dans la colonne rajoutée. Comme le nombre de lignes $n$ est la somme des deux nombres précédents, on conclut.

2.4  Calcul Matriciel.

Dans cette section nous ferons des rappels sur les matrices et leurs manipulations. Celles-ci seront un élément clé de notre travail ce semestre.