\documentclass[landscape,12pt,a4paper]{article} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsthm} \usepackage{amsmath,amssymb,amssymb,epsf,graphics,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{showkeys} \newcommand{\bbA}{\mathbb{A}} \newcommand{\bbC}{\mathbb{C}} \newcommand{\bbF}{\mathbb{F}} \newcommand{\bbG}{\mathbb{G}} \newcommand{\bbN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bbP}{\mathbb P} \newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\bbC} \newcommand{\N}{\bbN} \newcommand{\Z}{\bbZ} \renewcommand{\P}{\bbP} \newcommand{\ssC}{\text{\textsf{C}}} \newcommand{\ssD}{\text{\textsf{D}}} \newcommand{\cA}{\mathcal A} \newcommand{\cE}{\mathcal E} \newcommand{\cO}{\mathcal O} \newcommand{\cF}{\mathscr F} \newcommand{\cG}{\mathscr G} \newcommand{\cH}{\mathscr H} \newcommand{\cI}{\mathscr I} \newcommand{\cJ}{\mathscr J} \newcommand{\cM}{\mathscr M} \newcommand{\F}{\cF} \newcommand{\G}{\cG} \renewcommand{\H}{\cH} \newcommand{\E}{\cE} \renewcommand{\O}{\cO} \newcommand{\bE}{\mathbf{E}} \newcommand{\bF}{\mathbf{F}} \newcommand{\bG}{\mathbf{G}} \newcommand{\donne}{\Longrightarrow} \newcommand{\vers}{\longrightarrow} \newcommand{\dsp}{\displaystyle} \newcommand{\Spc}[1]{\langle {#1} \rangle} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \newcommand{\ssi}{si et seulement si} \renewcommand{\qedsymbol}{$\blacksquare$} \theoremstyle{plain} \newtheorem{thm}{Théorème}[section] \newtheorem{prop}[thm]{Proposition} \newtheorem{lema}[thm]{Lemme} \newtheorem{cor}[thm]{Corollaire} \theoremstyle{definition} \newtheorem{defin}[thm]{Définition} \newtheorem{numar}[thm]{} \newtheorem{remarca}[thm]{Remarque} \newtheorem{exemplu}[thm]{Exemple} \newtheorem{notation}[thm]{Notation} \newtheorem{exo}{Exercice} \newenvironment{preuve}{\begin{proof}[\textsc{Preuve}]}{\end{proof}} \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\coker}{coker} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} \DeclareMathOperator{\End}{End} \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\im}{im} \DeclareMathOperator{\rg}{rg} \DeclareMathOperator{\rang}{rang} \DeclareMathOperator{\diag}{diag} \DeclareMathOperator{\Sym}{Sym} \DeclareMathOperator{\tor}{Tor} \DeclareMathOperator{\GL}{GL} \DeclareMathOperator{\SO}{SO} \DeclareMathOperator{\SL}{SL} \DeclareMathOperator{\PSL}{PSL} \DeclareMathOperator{\slin}{\mathfrak{sl}} \DeclareMathOperator{\glin}{\mathfrak{gl}} \DeclareMathOperator{\ld}{\Lambda ^2} \newcommand{\Id}{\mathit{Id}} \newcommand{\la}{\langle} \newcommand{\ra}{\rangle} \newcommand{\R}{\bbR} \newcommand{\parin}{\par\noindent} \renewcommand{\ni}{\noindent} \DeclareMathOperator{\Vect}{Vect} \newcounter{exercice} \newcommand{\exercice } {\vspace{1cm}\textbf{Exercice \addtocounter{exercice}{1} \arabic{exercice}.} } \setcounter{exercice}{0} \textwidth 28cm \evensidemargin 0mm \oddsidemargin 0mm \topmargin 0mm \addtolength{\voffset}{-3cm} \addtolength{\hoffset}{-2cm} \begin{document} \setcounter {exercice}{0} \noindent \textbf{UGA-MAT404 \hfill TD 5 - S\'eries de Fourier \hfill 2020} \pagebreak \exercice Donner les coefficients de Fourier trigonom\'etriques des fonctions suivantes, d\'efinies sur $[-\pi,\pi]$:\\ \noindent 1. $f(x)=\cos(2x)$,\\ \noindent 2. $f(x)=3+2\cos(3x)+4\sin(5x)$,\\ \noindent 3. $f(x)=\cos^2(x)$. \pagebreak \exercice Soit $f:[-\pi,\pi]\to\R$ une fonction int\'egrable. \\ \noindent 1. Montrer que si $f$ est paire alors sa s\'erie de Fourier est une s\'erie de cosinus.\\ \noindent 2. Montrer que si $f$ est impaire alors sa s\'erie de Fourier est une s\'erie de sinus. \pagebreak \exercice \begin{enumerate} \item Trouver les coefficients de Fourier trigonom\'etriques de la fonction ${f:[-\pi, \pi]\to\R}$ donn\'ee par $f(x)=x^2$. \item En d\'eduire les coefficients de Fourier exponentiels de $f$, $c_k$. V\'erifier qu'on a bien $c_k=\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-ikx}$. \item En d\'eduire, en utilisant le th\'eor\`eme de Parseval, que $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}.$$ \end{enumerate} \pagebreak \exercice \begin{enumerate} \item Trouver les coefficients de Fourier trigonom\'etriques de la fonction ${f:[-\pi, \pi]\to\R}$ donn\'ee par $f(x)=|x|$. \item En d\'eduire les coefficients de Fourier exponentiels de $f$, $c_k$. V\'erifier qu'on a bien $c_k=\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-ikx}$. \pagebreak \item En d\'eduire les valeurs de $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}$ et $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^4}$. \item Calculer $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}$. \end{enumerate} \pagebreak \exercice Soit de la fonction ${f:[-\pi, \pi]\to\R}$ donn\'ee par $f(x)=|\sin(x)|$. Calculer le d\'eveloppement en s\'erie de Fourier de $f$. \pagebreak \exercice Soit $a\in\R\setminus\mathbb{Z}$ et de la fonction ${f:[-\pi, \pi]\to\R}$ donn\'ee par $f(x)=\cos(ax)$. Calculer le d\'eveloppement en s\'erie de Fourier de $f$ et montrer que $$ \frac{\pi}{\tan(a\pi)}=\frac{1}{a}+ 2a \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a^2-n^2}. $$ \pagebreak \exercice D\'eterminer le d\'eveloppement en s\'erie de sinus de la fonction $$f:]0,\pi[\to\R,\quad f(x)=e^x.$$ \pagebreak \exercice D\'eterminer le d\'eveloppement en s\'erie de cosinus de la fonction $$f:[0,\pi]\to\R,\quad f(x)=\begin{cases} x&\text{ si }0 \leq x<\displaystyle\frac{\pi}{2} , \\ \pi-x&\text{ si }x\geq\displaystyle\frac{\pi}{2}. \end{cases} $$ \pagebreak \exercice On consid\`ere la fonction $2\pi$-p\'eriodique d\'efinie sur par $f(x)=x$ pour $x=[-\pi,\pi[$. Calculer les coefficients de Fourier de $f$, et \'etudier la convergence de la s\'erie de Fourier $S(f)(x)$ pour $x\in[-\pi,\pi]$ en utilisant le th\'eor\`eme de Dirichlet (on pourra traiter s\'epar\'ement les cas $x=\pm\pi$). \pagebreak \exercice On consid\`ere la fonction $1$-p\'eriodique d\'efinie sur par $f(x)=x$ pour $x=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}[$. Calculer la s\'erie de Fourier $S(f)(x)$ et \'etudier sa convergence (on pourra soit calculer les coefficients de Fourier directement en utilisant les formules du cours pour les fonctions $1$-p\'eriodiques, soit faire un changement de variables dans la s\'erie de Fourier de l'exercice pr\'ec\'edent). \pagebreak \exercice (Juin 2019) Dans cet exercice, on admettra que pour $n$ entier non nul, on a~: $$ \int_0^\pi x^3\sin(nx) \ dx =-\pi (n^2\pi^2-6)\frac{(-1)^n}{n^3} $$ Soit $S(f)$ la s\'erie de Fourier de la fonction d\'efinie sur $[-\pi,\pi]$ par $f(t)=t^3$. \begin{enumerate} \item Calculer les coefficients de Fourier de $f$ \pagebreak \item Montrer que $S(f)(t)=f(t)$ pour $t\in]-\pi,\pi[$ en appliquant le th\'eor\`eme de Dirichlet (on justifiera que les hypoth\`eses sont v\'erifi\'ees). \item La formule pour $S(f)(t)$ de la question pr\'ec\'edente est-elle valable pour $t=\pi$? Sinon, que vaut $S(f)(\pi)$~? \item D\'eterminer la valeur de la s\'erie de Fourier au point $t=\pi/2$. En d\'eduire une s\'erie convergente dont la somme vaut $\pi^3/8$. \pagebreak \item Montrer que l'identit\'e de Parseval s'applique. En d\'eduire une formule pour~: $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n^2\pi^2-6)^2}{n^6} $$ % pi^6/14 \item Les s\'eries suivantes sont-elles convergentes~: $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$, $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}$, $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^6}$~? \pagebreak \item Calculer $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^6}$, sachant que $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}, \quad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90} $$ \end{enumerate} \end{document}