\documentclass[12pt]{article}

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\def\cA{{\cal A}}  \def\cG{{\cal G}} \def\cM{{\cal M}} \def\cS{{\cal S}}  
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\def\co{{\em (Co)}}
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\newcounter{exercice}
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{\vspace{.5cm}\textbf{Exercice \addtocounter{exercice}{1}
\arabic{exercice}.} }
\setcounter {exercice}{0}
\begin{document}
\noindent \textbf{UGA-MAT404-TD4  \hfill S\'eries num\'eriques \hfill 2022}


\exercice

Soit $\lambda\in \mathbb{C}$ diff\'erent de 1. D\'emontrer par r\'ecurrence sur $k$ la formule:
$ 1+\lambda+\ldots +\lambda^k=\frac{1-\lambda^{k+1}}{1-\lambda}.$


\exercice
D\'eterminer si les s\'eries suivantes convergent ou non (utiliser une comparaison).
\begin{enumerate}
\item $\sum_{n\geq 1} \frac{\sin(n)}{n^2}$
\item $\sum_{n\geq 1} \frac{n^{-1/2}}{2^n}$
\item $\sum_{n\geq 1}\frac{\ln(n)}{n}$
\item $\sum_{n\geq 1}\frac{2^n}{n!}$
\end{enumerate}


\exercice
Pour chaque s\'erie ci-dessous, d\'eterminer si elle converge.
\begin{enumerate}
\item $(\sum_{n\geq1}e^{\frac{1}{n^2}}-\cos(\frac{1}{n}))$
\item $(\sum_{n\geq 1}n^{\frac{3}{2}}(e^{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n}-1))$
\item $(\sum_{n\geq1}\frac{1-\cos(\frac{1}{n})}{\sin(\frac{1}{n})})$
\item $(\sum_{n\geq1}(\sqrt{n^\alpha}-\sqrt{(n-1)^{\alpha}}))$ 
(selon les valeurs de $\alpha$). 
\item $(\sum_{n\geq1}\sin(\frac{1}{n}-\sin(\frac{1}{n}))$
\item $(\sum_{n\geq 1}\log(1+\frac{1}{n})-\log(1-\frac{1}{n}))$
\item $(\sum_{n\geq 1}{e^{1\over n}\over n+1})$
\item $(\sum_{n\geq 1}{e^{1\over n}-1\over \sqrt{n+1}})$
\item $(\sum_{n\geq 1}n\ln\Big(1+{1\over n}\Big))$
\item $(\sum_{n\geq 1}{1-n\ln(1+{1\over n})\over \sqrt{n+1}})$
\end{enumerate}


\exercice

On consid\`ere dans cet exercice des s\'eries de la forme 
$(\sum_{n\geq 1} n^\alpha \lambda^n)$
avec $\lambda\in \mathbb{C}$ et $|\lambda| < 1$.
\begin{enumerate}
\item En utilisant une comparaison,  montrer que si $\alpha\leq 0$ alors 
cette s\'erie converge.
\item Quelle est la limite quand $n\rightarrow \infty$ de 
$n^\alpha \lambda^{n/2}$ ? 
\item Justifier l'existence d'une constante $C$ telle que 
$ n^\alpha \lambda^n\leq C \lambda^{n/2}$ pour tout $n$. En d\'eduire
que pour tout $\alpha$ et tout $\lambda$ tel que  $|\lambda| < 1$ la s\'erie
$(\sum_{n\geq 1} n^\alpha \lambda^n)$ converge.
\item En d\'eduire que pour tout polyn\^ome $P$ et tout $\lambda$ tel que  
$|\lambda| < 1$ la s\'erie $(\sum_{n\geq 1} P(n) \lambda^n)$ converge.
\end{enumerate}

\exercice

On consid\`ere dans cet exercice des s\'eries de la forme $(\sum_{n\geq 2} \frac{1}{n^\alpha \log(n)^\beta})$
avec $\alpha, \beta$ des nombre r\'eels strictement positifs. 
\begin{enumerate}
\item Par comparaison avec $\sum \frac{1}{n^\alpha}$, montrer que 
cette s\'erie converge lorsque $\alpha >1$.
\item On suppose maintenant $\alpha <1$. 
Quelle est la limite quand $n\rightarrow \infty$ de
$n^{\alpha -1}\log(n)^{\beta}$ ?
\item En supposant toujours que $\alpha <1$, d\'emontrer l'existence d'une 
constante $C$ telle que pour tout $n$ $\frac{1}{n^\alpha \log(n)^\beta}\geq
\frac{C}{n}$. 

En d\'eduire que dans ce cas la s\'erie 
$(\sum_{n\geq 2} \frac{1}{n^\alpha \log(n)^\beta})$ diverge quelque soit 
$\beta$. 
\end{enumerate}
% \end{document}
\pagebreak

\setcounter {exercice}{0}

\noindent \textbf{UGA-MAT404  \hfill TD 5 -  S\'eries de Fourier \hfill 2022}

\exercice Donner les coefficients de Fourier trigonom\'etriques des
fonctions suivantes, d\'efinies sur $[-\pi,\pi]$:\\
\noindent 1. $f(x)=\cos(2x)$,\\
\noindent 2. $f(x)=3+2\cos(3x)+4\sin(5x)$,\\
\noindent 3. $f(x)=\cos^2(x)$.

\exercice
Soit $f:[-\pi,\pi]\to\R$ une fonction int\'egrable. \\
\noindent 1. Montrer que si $f$ est paire alors sa s\'erie de Fourier est une
s\'erie de cosinus.\\ 
\noindent 2. Montrer que si $f$ est impaire alors sa s\'erie de Fourier est
une s\'erie de sinus. 


\exercice
\begin{enumerate}
\item Trouver les coefficients de Fourier trigonom\'etriques
de la fonction ${f:[-\pi, \pi]\to\R}$
donn\'ee par $f(x)=x^2$. 
\item En d\'eduire les coefficients de Fourier exponentiels de $f$, $c_k$.
V\'erifier qu'on a bien $c_k=\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-ikx}$.
\item En d\'eduire, en utilisant le th\'eor\`eme de Parseval, que
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}.$$  
\end{enumerate}

\exercice
\begin{enumerate}
\item Trouver les coefficients de Fourier trigonom\'etriques
de la fonction ${f:[-\pi, \pi]\to\R}$
donn\'ee par $f(x)=|x|$. 
\item En d\'eduire les coefficients de Fourier exponentiels de $f$, $c_k$.
V\'erifier qu'on a bien $c_k=\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-ikx}$.
\item 
En d\'eduire les valeurs de $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}$ 
et $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^4}$. 
\item Calculer $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}$. 
\end{enumerate}

\exercice
Soit de la fonction ${f:[-\pi, \pi]\to\R}$
donn\'ee par $f(x)=|\sin(x)|$.
Calculer le d\'eveloppement en s\'erie de Fourier de $f$.


\exercice
Soit $a\in\R\setminus\mathbb{Z}$ et de la fonction ${f:[-\pi, \pi]\to\R}$
donn\'ee par $f(x)=\cos(ax)$. 
Calculer le d\'eveloppement en s\'erie de
Fourier de $f$ et montrer que 
$$
\frac{\pi}{\tan(a\pi)}=\frac{1}{a}+ 2a \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a^2-n^2}.
$$  


\exercice
D\'eterminer le d\'eveloppement en s\'erie de sinus de la fonction 
$$f:]0,\pi[\to\R,\quad f(x)=e^x.$$


\exercice
D\'eterminer le d\'eveloppement en s\'erie de cosinus de la fonction
$$f:[0,\pi]\to\R,\quad 
f(x)=\begin{cases} 
x&\text{ si }0 \leq x<\displaystyle\frac{\pi}{2} , \\
\pi-x&\text{ si }x\geq\displaystyle\frac{\pi}{2}.
\end{cases}
$$

\exercice On consid\`ere la fonction $2\pi$-p\'eriodique d\'efinie sur
par $f(x)=x$ pour $x=[-\pi,\pi[$. Calculer les coefficients de Fourier
    de $f$, et \'etudier la convergence de la s\'erie de Fourier $S(f)(x)$
    pour $x\in[-\pi,\pi]$ en utilisant le th\'eor\`eme de Dirichlet
    (on pourra traiter s\'epar\'ement les cas $x=\pm\pi$).

\exercice On consid\`ere la fonction $1$-p\'eriodique d\'efinie sur
par $f(x)=x$ pour $x=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}[$. Calculer la s\'erie
    de Fourier $S(f)(x)$ et \'etudier sa convergence (on pourra soit
    calculer les coefficients de Fourier directement en utilisant les
    formules du cours pour les fonctions $1$-p\'eriodiques, soit faire
    un changement de variables dans la s\'erie de Fourier de
    l'exercice pr\'ec\'edent).
    
\exercice (Juin 2019)
Dans cet exercice, on admettra que pour $n$ entier non nul, on a~:
$$ \int_0^\pi x^3\sin(nx) \ dx =-\pi
(n^2\pi^2-6)\frac{(-1)^n}{n^3} $$
Soit $S(f)$ la s\'erie de Fourier de la fonction d\'efinie
sur $[-\pi,\pi]$ par $f(t)=t^3$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer les coefficients de Fourier de $f$
\item Montrer que $S(f)(t)=f(t)$ pour $t\in]-\pi,\pi[$ en appliquant le
    th\'eor\`eme de Dirichlet (on justifiera que les hypoth\`eses sont
    v\'erifi\'ees).
\item La formule pour $S(f)(t)$ de la question pr\'ec\'edente est-elle
  valable pour $t=\pi$? Sinon, que vaut $S(f)(\pi)$~?
\item D\'eterminer la valeur de la s\'erie de Fourier au point
  $t=\pi/2$. En d\'eduire une s\'erie convergente dont la somme vaut $\pi^3/8$.
\item Montrer que l'identit\'e de Parseval s'applique. En d\'eduire une formule pour~:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n^2\pi^2-6)^2}{n^6} $$
% pi^6/14
\item Les s\'eries suivantes sont-elles convergentes~:
  $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$, 
  $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}$, 
  $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^6}$~?
\item
Calculer $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^6}$, sachant que
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6},
\quad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90} $$
\end{enumerate}


\end{document}