\documentclass[landscape,12pt,a4paper]{article} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsthm} \usepackage{amsmath,amssymb,amssymb,epsf,graphics,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{showkeys} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Cm}{\mathbb{C}} \newcommand{\Cp}{\mathbb{C}_p} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Qp}{\mathbb{Q}_p} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_p} \newcommand{\Ocal}{\mathcal{O}} \newcommand{\Rcal}{\mathcal{R}} \newcommand{\Hcal}{\mathcal{H}} \newcommand{\Ucal}{\mathcal{U}} \newcommand{\Mcal}{\mathcal{M}} \newcommand{\parin}{\par\noindent} \newcommand{\ola}[1]{\overleftarrow{#1}} \newcommand{\ora}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\tY}{\tilde{Y}} \newcommand{\tZ}{\tilde{Z}} \newcommand{\tPhi}{\tilde{\Phi}} \newcommand{\tG}{\tilde{\Gamma } } \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} \def\cA{{\cal A}} \def\cG{{\cal G}} \def\cM{{\cal M}} \def\cS{{\cal S}} \def\cB{{\cal B}} \def\cH{{\cal H}} \def\cN{{\cal N}} \def\cT{{\cal T}} \def\cC{{\cal C}} \def\cI{{\cal I}} \def\cO{{\cal O}} \def\cU{{\cal U}} \def\cD{{\cal D}} \def\cJ{{\cal J}} \def\cP{{\cal P}} \def\cV{{\cal V}} \def\cE{{\cal E}} \def\cK{{\cal K}} \def\cQ{{\cal Q}} \def\cW{{\cal W}} \def\cF{{\cal F}} \def\cL{{\cal L}} \def\cR{{\cal R}} \def\cX{{\cal X}} \def\cY{{\cal Y}} \def\cZ{{\cal Z}} \def\degre{{\rm deg}} \def\co{{\em (Co)}} \def\ta{{\em (Ta)}} \def\tr{{\em (Tr)}} \def\tco{${\tilde{\mbox{{\em (Co)}}}}$} \def\tta{$\tilde{\mbox{{\em (Ta)}}}$} \def\ttr{$\tilde{\mbox{{\em (Tr)}}}$} \def\AA{{\mathbb A}} \def\BB{{\mathbb B}} \def\CC{{\mathbb C}} \def\DD{{\mathbb D}} \def\EE{{\mathbb E}} \def\FF{{\mathbb F}} \def\GG{{\mathbb G}} \def\HH{{\mathbb H}} \def\II{{\mathbb I}} \def\JJ{{\mathbb J}} \def\KK{{\mathbb K}} \def\LL{{\mathbb L}} \def\MM{{\mathbb M}} \def\NN{{\mathbb N}} \def\OO{{\mathbb O}} \def\PP{{\mathbb P}} \def\QQ{{\mathbb Q}} \def\RR{{\mathbb R}} \def\SS{{\mathbb S}} \def\TT{{\mathbb T}} \def\UU{{\mathbb U}} \def\VV{{\mathbb V}} \def\WW{{\mathbb W}} \def\XX{{\mathbb X}} \def\YY{{\mathbb Y}} \def\ZZ{{\mathbb Z}} \renewcommand{\Re}[1]{\mathrm{Re(#1)} } \renewcommand{\Im}[1]{\mathrm{Im(#1)} } \textwidth 28cm \evensidemargin 0mm \oddsidemargin 0mm \topmargin 0mm \addtolength{\voffset}{-3cm} \addtolength{\hoffset}{-2cm} \newcounter{exercice} \newcommand{\exercice } {\pagebreak \textbf{Exercice \addtocounter{exercice}{1} \arabic{exercice}.} } \setcounter {exercice}{0} \begin{document} \noindent \textbf{UGA-MAT404-TD3 \hfill Produits scalaires et bases orthonorm\'ees. \hfill 2021} \exercice (+) Pour chaque matrice $A$, donner la forme bilin\'eaire sym\'etrique $\phi$ dont $A$ est la matrice dans la base canonique. Trouver une base orthogonale pour $\phi$. Existe-t-il une base $\phi$-orthonorm\'ee ? La forme $\phi$ est-il un produit scalaire ? \vspace{2mm} 1. $A= \begin{pmatrix}1& 0\\ 0& 1\end{pmatrix}$ ; \, 2. $A= \begin{pmatrix}1& 0\\ 0& -1\end{pmatrix}$ ; \, 3. $A= \begin{pmatrix}1& 1\\ 1& 1\end{pmatrix}$ ; \, 4. $A= \begin{pmatrix}1& 1\\ 1& -1\end{pmatrix}$. \exercice Les formes suivantes sont-elles des produits scalaires ? \begin{enumerate} \item (+) Sur $\mathbb{R}[x]$, $\displaystyle (P,Q) \mapsto \int_0^1e^x P(x) \, Q(x) \, {\rm d}x$. \item (+) Sur $\mathbb{R}^3$, la forme polaire de la forme quadratique $q(x)=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2-4x_2x_3$. \item (+) Sur $\mathbb{R}^3$, la forme polaire de la forme quadratique $q(x)=x_1^2+3x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2-4x_1x_3+6x_2x_3$. \pagebreak \item (*) Sur $M_2(\mathbb{R})$, $(A,B) \mapsto {\rm Tr }({^t}\!AB)$. \item (*) Sur $M_2(\mathbb{R})$, $(A,B) \mapsto {\rm Tr }(AB)$. \end{enumerate} \exercice D\'emontrer les relations suivantes dans un espace vectoriel euclidien : \begin{enumerate} \item $||x+y||^2-||x-y||^2=4x \cdot y$. \item $||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)$. \end{enumerate} \exercice (+) Utiliser la m\'ethode de Gram-Schmidt pour orthonormaliser dans $\mathbb{R}^3$ avec son produit scalaire usuel la base $(e_1,e_2,e_3)$, o\`u $e_1=\left(\begin{matrix}{1}\\{1}\\{-1}\end{matrix}\right)$, $e_2=\left(\begin{matrix}{1}\\{-1}\\{1}\end{matrix}\right)$ et $e_3=\left(\begin{matrix}{-1}\\{1}\\{1}\end{matrix}\right)$. \exercice Pour chaque espace euclidien $E$ ci-dessous muni du produit scalaire $\phi$, appliquer la m\'ethode de Gram-Schmidt \`a la famille $\mathcal{F}$ afin de produire une base orthonom\'ee pour $\langle\mathcal{F}\rangle$. Calculer la projection orthogonale de $v\in E$ sur $\langle\mathcal{F}\rangle$. Donner des \'equations d\'efinissant $\langle\mathcal{F}\rangle$. \begin{enumerate} \item (+) $E=\R^3$, $\phi$ le produit scalaire canonique, $\mathcal{F} = \left( \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} \right)$, $v=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. \pagebreak \item (+) $E=\R^4$, $\phi$ le produit scalaire canonique, $\mathcal{F} = \left( \left(\begin{matrix}{1}\\{1}\\{0}\\{0}\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}{1}\\{0}\\{-1}\\{1}\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}{0}\\{1}\\{1}\\{1}\end{matrix}\right) \right)$, $v=\left(\begin{matrix}{1}\\{1}\\{1}\\{1}\end{matrix}\right)$. \pagebreak \item (+) $E=\R_3[X]$, $\displaystyle \phi(P,Q)=\int_{-1}^1P(X)\,Q(X)dX$, $\mathcal{F} = (1,X,X^2)$, $v=X^3$. \item (+) $E=\R_3[X]$, $\displaystyle \phi(P,Q)=\int_{0}^1P(X)\,Q(X)dX$, $\mathcal{F} = (1,X,X^2)$, $v=X^3$. \pagebreak \item (*) $E=\R^3$, $\phi(x,y)= 3x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2+3x_3y_3$, $\mathcal{F} = \left( \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \right)$, $v=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$. \end{enumerate} \exercice (+) Consid\'erons dans $\R^2$ la forme quadratique $q(x,y)=4x^2+xy+y^2$. \begin{enumerate} \item D\'emontrer que $q$ d\'efinit un produit scalaire sur $\R^2$. \item Donner une base orthogonale de $\R^2$ pour ce produit scalaire. On pourra utiliser deux m\'ethodes pour y parvenir : soit appliquer le proc\'ed\'e d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, soit utiliser la r\'eduction de Gauss de $q$. \end{enumerate} \exercice Consid\'erons sur $\R^3$, la forme quadratique $q$, d\'efinie par $$q(x,y,z)=x^2+4xy+5y^2-2yz+4z^2.$$ \begin{enumerate} \item D\'emontrer que la forme bilin\'eaire associ\'ee \`a $q$ est un produit scalaire sur $\R^3$. \item Orthonormaliser, par le proc\'ed\'e de Gram-Schmidt, la base canonique de $\R^3$ pour obtenir une base de $\R^3$ $q$-orthonormale. \end{enumerate} \exercice (+) Sur l'espace $\mathcal{C}([-\pi, \pi],\R)$ des fonctions continues sur $[-\pi, \pi]$, \`a valeurs r\'eelles on d\'efinit le produit scalaire \[\langle f, g\rangle= \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x)dx.\] \begin{enumerate} \item Montrer que les fonctions $x \mapsto \cos(nx)$, $x \mapsto \cos(mx)$, $x \mapsto \sin(nx)$ et $x \mapsto \sin(mx)$ sont deux \`a deux orthogonales pour $\langle , \rangle$ pour $m \neq n$ entiers. \item Calculer $\|x \mapsto \cos(nx)\|$ et $\|x \mapsto \sin(nx)\|$ pour tout entier $n\in \N$. \item Calculer la projection orthogonale de la fonction $x \mapsto x$ sur le sous-espace % de $\mathcal{C}([-\pi, \pi],\R)$ engendr\'e par les fonctions $1, \cos,\sin, x \mapsto \cos(2x), x \mapsto \sin(2x)$.\end{enumerate} \exercice Nous consid\'erons l'espace $\mathcal{C}([-1, 1],\R)$ des fonctions continues sur $[-1, 1]$, \`a valeurs r\'eelles. Nous munissons cet espace du produit scalaire \[\langle f,g\rangle= \int_{-1}^{1} f(x)g(x)dx.\] \begin{enumerate} \item Utiliser la m\'ethode de Gram-Schmidt afin de produire une base orthonorm\'ee pour le sous-espace $\R_2[X]\subset\mathcal{C}([-1, 1], \R)$. \item Calculer la meilleure approximation polynomiale (au sens de la distance associ\'ee au produit scalaire $\langle ~, \rangle$) de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $2$ des fonctions suivantes : $\exp$, $\cos$ et $x \mapsto \sqrt{x+1}$. \end{enumerate} \exercice (*) Soit $P$ une matrice carr\'ee inversible de $\mathcal{M}_n(\R)$. \begin{enumerate} \item D\'emontrer que la matrice ${^t}\!PP$ est sym\'etrique. \item Pr\'eciser, dans la base canonique $(e_i)_{i=1,\ldots,n}$ de $\R^n$, la matrice de la forme quadratique associ\'ee au produit scalaire usuel (canonique). Que peut-on dire de la base canonique de $\R^n$ pour cette forme quadratique? \item Soit $q$ la forme quadratique d\'efinie, dans la base canonique de $\R^n$, par la matrice ${^t}\!PP$. \begin{enumerate} \item Pour tout vecteur colonne $X$, dont les coordonn\'ees sont exprim\'ees dans la base canonique de $\R^n$, exprimer matriciellement la valeur $q(X)$. \item D\'emontrer que $q$ est une forme quadratique d\'efinie positive. \item En d\'eduire, en fonction de $P$ et des vecteurs $e_1,\ldots,e_n$, une base $q$-orthogonale de $\R^n$. \end{enumerate} \end{enumerate} \exercice (*) Soit $(V, \langle~, \rangle)$ un espace euclidien et soit $W\subset V$ un sous-espace de dimension finie. Soit $p_W$ la projection orthogonale sur $W$. Montrer que \begin{enumerate} \item $p_W(v)=v$ si et seulement si $v\in W$ \item $p_W\circ p_W= p_W$ \item $p_W(v)=0$ si et seulement si $v\in W^\perp$. \end{enumerate} \exercice Utiliser la m\'ethode de la projection orthogonale pour trouver les nombres $a$ et $b$ tels que $y=ax+b$ soit la meilleure droite d'approximation des points : \begin{enumerate} \item $(x=1, y=1), (x=2, y=3), (x=3, y=2).$ \item $(x=1, y=0), (x=2, y=5), (x=3, y=7).$ \end{enumerate} \exercice Utiliser la m\'ethode de la projection orthogonale pour trouver la fonction $x \mapsto g(x)=a+b \cos(x)+ c \cos(2x)$ qui minimise la distance $d(g, x \mapsto x^2)$ dans l'espace $C^0([-\pi, \pi], \R)$ muni du produit scalaire $\displaystyle \langle f_1, f_2\rangle =\int_{-\pi}^\pi f_1(t)f_2(t) dt.$ \exercice (*) \begin{enumerate} \item Soit $(v_1,\ldots, v_n)$ un famille de vecteurs de $\R^n$. Soit $P=(v_1|v_2|\ldots |v_n)$ la matrice dont les vecteurs colonnes sont les $v_i$. Montrer que $({^t}PP)_{ij}=\langle v_i, v_j\rangle$, o\`u $\langle-,-\rangle$ est le produit scalaire canonique de $\R^n$. \item Soit $E$ un espace euclidien et soit $B_1$ une base orthonorm\'ee pour $E$. Soit $B_2$ une autre base pour $E$. Montrer que $B_2$ est orthonorm\'ee si et seulement si la matrice $P$ de changement de la base $B_1$ \`a $B_2$ est une matrice orthogonale. \end{enumerate} \exercice (*) Soit $f$ une endomorphisme d'un espace euclidien $E$ muni du produit scalaire $\langle -,-\rangle$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'application $\phi :E\times E\rightarrow \R$ donn\'ee par $\phi(v,w)=\langle v, f(w)\rangle$ est bilin\'eaire. \item Soit $B$ une base de $E$. Soit $M$ la matrice de l'application lin\'eaire $f$ dans la base $B$. Soit $N$ la matrice de l'application bilin\'eaire $\phi$ dans la base $B$. Montrer que si $B$ est une base orthonorm\'ee alors $M=N$. \item Montrer que r\'eciproquement si $B$ n'est pas orthonorm\'ee alors $M\neq N$. \end{enumerate} \exercice Montrer que le produit de deux r\'eflexions dans $\R^2$ est une rotation dans $\R^2$. \exercice (+) Pour chaque matrice sym\'etrique $3\times 3$, trouver une base $B_1$ de $\mathbb{R}^3$, compos\'ee de vecteurs propres de $A_i$, qui est orthonorm\'ee pour le produit scalaire canonique. \[A_1=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix} A_2=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&0\\2&0&1\end{pmatrix}A_3= \begin{pmatrix}5&-1&2\\-1&5&2\\2&2&2\end{pmatrix}.\] \exercice (+) Pour chaque forme quadratique $q$, trouver une base de $\mathbb{R}^3$ qui est $q$-orthogonale et orthonorm\'ee pour les produit scalaire canonique sur $\mathbb{R}^3$. \begin{enumerate} \item $q(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix})=x^2+y^2+z^2-2xy-2xz-2yz$. \item $q(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix})=2x^2+4y^2+z^2+4xy- 2\sqrt{2}xz+4\sqrt{2}yz$. \end{enumerate} \end{document} \exercice (cours) Soit $V$ un espace vectoriel muni d'un produit scalaire $\langle~,\rangle$. Soit $(e_1, \ldots, e_n)$ une base pour $V$ et soit $(e'_1, \ldots, e'_n)$ la base produite en appliquant l'algorithme de Gram-Schmidt \`a $(e_1,\ldots, e_n)$. Soit $P$ la matrice de passage de $(e_1,\ldots, e_n)$ vers $(e'_1, \ldots, e'_n)$. Montrer que $P$ est triangulaire sup\'erieure.