\documentclass[landscape,12pt,a4paper]{article} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsthm} \usepackage{amsmath,amssymb,amssymb,epsf,graphics,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{showkeys} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Cm}{\mathbb{C}} \newcommand{\Cp}{\mathbb{C}_p} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Qp}{\mathbb{Q}_p} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_p} \newcommand{\Ocal}{\mathcal{O}} \newcommand{\Rcal}{\mathcal{R}} \newcommand{\Hcal}{\mathcal{H}} \newcommand{\Ucal}{\mathcal{U}} \newcommand{\Mcal}{\mathcal{M}} \newcommand{\parin}{\par\noindent} \newcommand{\ola}[1]{\overleftarrow{#1}} \newcommand{\ora}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\tY}{\tilde{Y}} \newcommand{\tZ}{\tilde{Z}} \newcommand{\tPhi}{\tilde{\Phi}} \newcommand{\tG}{\tilde{\Gamma } } \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} \def\cA{{\cal A}} \def\cG{{\cal G}} \def\cM{{\cal M}} \def\cS{{\cal S}} \def\cB{{\cal B}} \def\cH{{\cal H}} \def\cN{{\cal N}} \def\cT{{\cal T}} \def\cC{{\cal C}} \def\cI{{\cal I}} \def\cO{{\cal O}} \def\cU{{\cal U}} \def\cD{{\cal D}} \def\cJ{{\cal J}} \def\cP{{\cal P}} \def\cV{{\cal V}} \def\cE{{\cal E}} \def\cK{{\cal K}} \def\cQ{{\cal Q}} \def\cW{{\cal W}} \def\cF{{\cal F}} \def\cL{{\cal L}} \def\cR{{\cal R}} \def\cX{{\cal X}} \def\cY{{\cal Y}} \def\cZ{{\cal Z}} \def\degre{{\rm deg}} \def\co{{\em (Co)}} \def\ta{{\em (Ta)}} \def\tr{{\em (Tr)}} \def\tco{${\tilde{\mbox{{\em (Co)}}}}$} \def\tta{$\tilde{\mbox{{\em (Ta)}}}$} \def\ttr{$\tilde{\mbox{{\em (Tr)}}}$} \def\AA{{\mathbb A}} \def\BB{{\mathbb B}} \def\CC{{\mathbb C}} \def\DD{{\mathbb D}} \def\EE{{\mathbb E}} \def\FF{{\mathbb F}} \def\GG{{\mathbb G}} \def\HH{{\mathbb H}} \def\II{{\mathbb I}} \def\JJ{{\mathbb J}} \def\KK{{\mathbb K}} \def\LL{{\mathbb L}} \def\MM{{\mathbb M}} \def\NN{{\mathbb N}} \def\OO{{\mathbb O}} \def\PP{{\mathbb P}} \def\QQ{{\mathbb Q}} \def\RR{{\mathbb R}} \def\SS{{\mathbb S}} \def\TT{{\mathbb T}} \def\UU{{\mathbb U}} \def\VV{{\mathbb V}} \def\WW{{\mathbb W}} \def\XX{{\mathbb X}} \def\YY{{\mathbb Y}} \def\ZZ{{\mathbb Z}} \renewcommand{\Re}[1]{\mathrm{Re(#1)} } \renewcommand{\Im}[1]{\mathrm{Im(#1)} } \textwidth 28cm \evensidemargin 0mm \oddsidemargin 0mm \topmargin 0mm \addtolength{\voffset}{-2cm} \addtolength{\hoffset}{-2cm} \newcounter{exercice} \newcommand{\exercice } {\pagebreak \textbf{Exercice \addtocounter{exercice}{1} \arabic{exercice}.} } \setcounter{exercice}{0} \begin{document} \noindent UGA-Mat404-TD2 \hfill Formes bilin\'eaires et bases orthogonales. \hfill 2021 %\vspace{.1cm} \exercice (+) Les fonctions suivantes sont-elles des formes bilin\'eaires ? Sont elles sym\'etriques ? \begin{enumerate} \item $\phi:\R^2\times \R^2\rightarrow \R,\quad \phi\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} \right)=x_1y_2+x_2y_2$. % \medskip % \item $\phi:\C^2\times \C^2\rightarrow \C,\quad % \phi\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} \right)=ix_1y_2+ix_2x_1$. \item $\phi:\R_2[X]\times \R_2[X]\rightarrow \R,\quad \phi(P,Q)=2P'(1)P(0)+Q'(1)Q(0)$ puis $\phi(P,Q)=2P'(1)Q(0)+Q'(1)P(0)$. \item $\phi : \mathcal{C}([0,1], \R)\times \mathcal{C}([0,1],\R)\rightarrow \R,\quad \displaystyle \phi(f,g)=\int_0^1f(x)g(1-x)dx.$ \end{enumerate} \exercice (+) Pour chacune des formes bilin\'eaires suivantes, calculer sa matrice $M_1$ dans la base $\mathcal{B}_1$ et sa matrice $M_2$ dans la base $\mathcal{B}_2$. Calculer $P$, la matrice de passage de $\mathcal{B}_1$ vers $\mathcal{B}_2$, et v\'erifier que $M_2= {^t}P M_1 P$. La forme bilin\'eaire $\phi$ est elle sym\'etrique ? \begin{eqnarray*} \phi:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} & \phi(\left(\begin{matrix}{x_1}\\{x_2}\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}{y_1}\\{y_2}\end{matrix}\right))=x_1y_2+3y_1x_2 & \mathcal{B}_1=\left\{\left(\begin{matrix}{1}\\{0}\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}{0}\\{1}\end{matrix}\right)\right\}, \mathcal{B}_2=\left\{\left(\begin{matrix}{1}\\{1}\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}{1}\\{2}\end{matrix}\right)\right\}. \\ \phi:\R_2[X]\times \R_2[X]\rightarrow \mathbb{R} & \phi(P,Q)= P(1)Q(-1) & \mathcal{B}_1=\{1,X,X^2\}, \mathcal{B}_2=\{1, (X-1), (X^2-3X+2)\} \\ \phi:\R_2[X]\times \R_2[X]\rightarrow \mathbb{R} & \phi(P,Q)= \int_0^1P(x)Q(1-x)dx & \mathcal{B}_1=\{1,X,X^2\}, \mathcal{B}_2=\{1, (X-1), X^2-X\}. \end{eqnarray*} \exercice \begin{enumerate} \item Soit $\Psi$ une forme bilin\'eaire d\'efinie sur $V\times V$ o\`u $V$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension $n$. Soit $\mathcal{B}$ une base de $V$ et $A$ la matrice de $\Psi$ dans cette base. Montrer que l'application \[\Phi:E\times E \rightarrow \R \mbox{ d\'efinie par } \Phi(u,v)=\Psi(v,u) \] est une forme bilin\'eaire, calculer sa matrice dans la base $\mathcal{B}$ en fonction de $A$. Montrer que $\Psi$ est sym\'etrique (resp. antisym\'etrique) si et seulement si $A$ l'est. \pagebreak \item D\'emontrer que toute matrice $M$ de $\mathcal{M}_n(\R)$ s'\'ecrit comme somme de la matrice sym\'etrique $\frac{1}{2}(M+{^t}M)$ et de la matrice antisym\'etrique $\frac{1}{2}(M-{^t}M)$. D\'emontrer que c'est l'unique fa\c con d'\'ecrire $M$ comme une somme d'une matrice sym\'etrique et une matrice anti-sym\'etrique. \item Montrer que toute forme bilin\'eaire $\Delta:E\times E \rightarrow \R$ s'\'ecrit de fa\c con unique comme la somme de deux formes bilin\'eaires, l'une sym\'etrique, l'autre antisym\'etrique, que l'on pr\'ecisera. \end{enumerate} \exercice (*) Pour chaque forme bilin\'eaire $\phi$, sur l'espace vectoriel $V$ donner son rang (sauf pour le 4) et calculer son noyau. Trouver l'orthogonal pour $\phi$ du sous-espace $W$ (sauf pour le 4). \begin{enumerate} \item $V=\R^3, \ \phi\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix},\begin{pmatrix} y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}\right)=x_1y_1+x_2y_1+x_1y_2, \quad W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in \R^3|\ x+y+z=0 \right\}$ \item $V=\mathbb{R}^3, \ \phi: \left( \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix} \right)= x_1y_1+2x_2y_2, \quad W= \left\{ \begin{pmatrix} x\\y\\ 0 \end{pmatrix}|x,y\in \R\right\}$ \pagebreak \item $V=\mathbb{R}^3, \ \phi\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix},\begin{pmatrix} y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}\right)= x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+2x_2y_2, \quad W= \left\{ \begin{pmatrix} x\\0\\ z\end{pmatrix}|x,z\in \R\right\}$ \item $V= C^0([0,1], \R), \ \phi(f,g)= \int_0^1 f(x)g(x) dx$%, \quad W= {\rm Vect}(\sin(x), \cos(x))$. \end{enumerate} \exercice Soient $A$ et $B$ des matrices $n\times n$. Montrer l'implication suivante:\[ \forall X, Y\in \mathbb{R}^n, \ {^t}XAY={^t}XBY\quad \Rightarrow \ A=B.\] \exercice Soit $V$ un espace vectoriel, et $\phi$ une forme bilin\'eaire sym\'etrique d\'efinie sur $V$. \begin{enumerate} \item V\'erifier que si $q_\phi$ est la forme quadratique associ\'ee \`a la forme $\phi$ alors on a la relation $\phi(x,y)=\frac{1}{4}(q_\phi(x+y)-q_\phi(x-y))$ \item En d\'eduire que si $q_\phi(u)=q_\phi(v)$, alors $(u+v)$ et $(u-v)$ sont orthogonaux pour la forme bilin\'eaire $\phi$. \item Interpr\'eter ce r\'esultat quand $V=\R^3$ et $\phi$ est le produit scalaire canonique sur $\R^3$. \end{enumerate} \exercice V\'erifier que si $V$ est un espace vectoriel et $q_\phi$ est la forme quadratique associ\'ee \`a la forme bilin\'eaire sym\'etrique $\phi$ sur $V\times V$ alors on a les r\'elations \[ \phi(x,y)= \frac{1}{2}( q_\phi(x+y)-q_\phi(x)-q_\phi(y)), \qquad q_\phi(x)+q_\phi(y)= \frac{1}{2}(q_\phi(x+y)+q_\phi(x-y)).\] \exercice (+) Pour chaque forme quadratique $q$ sur $\R^3$, donner la forme polaire $\phi$ associ\'ee et la matrice de $\phi$ dans la base canonique de $\R^3$. \begin{enumerate} \item $q\left( x,y,z \right) = x^2+2y^2+ 3z^2$ \item $q\left( x,y,z \right) = 2xy +4xz+6yz$ \item $q\left( x,y,z \right) = x^2+y^2+z^2+xy+yz$ \item $q\left( x,y,z \right) = x^2+y^2+z^2+2xy+4yz$ \end{enumerate} %\exercice %Soit $q_\phi$ une forme quadratique sur $\mathbb{R}^2$ associ\'ee \`a une forme bilin\'eaire sym\'etrique $\phi$. %On suppose que le rang de $\phi$ est $2$ et qu'il existe $e_1\in \mathbb{R}^2$ non nul tel que $q_\phi(e_1)=0$. %\begin{enumerate} %\item Montrer qu'il existe un vecteur $e_2\in \mathbb{R}^2$ pour lequel $q_\phi(e_2)=0$ et tel que $(e_1, e_2)$ forme une base de $\mathbb{R}^2$. %\item Montrer qu'il existe une base $v_1, v_2$ de $\mathbb{R}^2$ telle que l'on a $q_\phi(x_1v_1+x_2v_2)=2x_1x_2$ pour tout $x_1,x_2\in\R$. Quelle est la forme bilin\'eaire sym\'etrique %associ\'ee? Donner sa matrice par rapport \`a la base $(v_1, v_2)$. %\item Montrer que la forme quadratique d\'efinie sur $\R^2$ par $q_\phi(x,y)=x^2-y^2 $ satisfait les hypoth\`eses de l'\'enonc\'e et s'en servir pour illustrer les constructions pr\'ec\'edentes. %\end{enumerate} \exercice (*) (version simplifi\'ee de la forme de Minkowski). Sur $\R^2$, on consid\`ere la forme bilin\'eaire \[ \varphi : \R^2\times \R^2\rightarrow \R, \; \varphi\left( \begin{pmatrix}x_1\\ y_1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}x_2\\ y_2\end{pmatrix}\right)\mapsto x_1x_2- y_1y_2. \] \begin{enumerate} \item Donner la matrice $N$ de $\varphi$ dans la base canonique de $\R^2$. \item Soit $P=\begin{pmatrix}a&b\\d&e\end{pmatrix}$ une matrice telle que $\varphi(P\underline{V}, P\underline{W})= \varphi(\underline{V},\underline{W})$ pour tous $\underline{V}, \underline{W}$ dans $\R^2$. On suppose pour simplifier que $a,e>0$.\\ Montrer que $\varphi(P\underline{V}, P\underline{W})= \varphi(\underline{V},\underline{W})$ pour tout $\underline{V}, \underline{W}$ si et seulement si $a^2-d^2= 1,\ b^2-e^2= -1 \textrm{ et }ab= de.$ \item En d\'eduire que $a=e$. On pose $\beta= \sqrt{a^2-1}$, montrer que $ b=d=\pm\beta$. \item Ecrire $P$ en fonction de $b$. Que constate-t-on ? (On pourra faire une substitution $b={\rm sinh}(\alpha)$. ) \end{enumerate} \exercice Soit $M=\left(\begin{matrix}{a}&{b}\\{b}&{d}\end{matrix}\right)\in \mathcal{M}_2(\R)$. Montrer que les assertions suivantes sont \'equivalentes : \begin{itemize} \item[(i)] pour tout $X\in\mathbb{R}^2\setminus\{0\},{^t}XMX>0$. \item[(ii)] $a>0$ et $ad-b^2>0$. \end{itemize} \exercice On pose $A=\left(\begin{matrix}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{matrix}\right)$. \begin{enumerate} \item Trouver une base de $\mathbb{R}^2$ qui est orthogonale pour la forme bilin\'eaire donn\'ee par la matrice $A$ dans la base canonique de $\R^2$. \item En d\'eduire une base orthonorm\'ee pour cette m\^eme forme. \item Quel est le rang de $A$ ? \end{enumerate} \exercice (*) Soit $V$ l'espace vectoriel des matrices r\'eelles $2\times 2$. \begin{enumerate} \item Soit $\phi$ la forme bilin\'eaire d\'efinie, pour tout $(A,B)\in V\times V$, par $\phi(A,B)={\rm Tr}({^t}A B).$ \begin{enumerate} \item D\'eterminer sa matrice par rapport \`a la base canonique de $V$. \item D\'emontrer qu'elle est sym\'etrique et donner son rang. \item Trouver une base $\phi$-orthonormale pour $\mathcal{M}_2(\R)$. \end{enumerate} \pagebreak \item Soit $D$ la forme quadratique d\'efinie, pour tout $A\in V$, par $D(A)={\rm Det}(A)$. \begin{enumerate} \item Calculer la forme bilin\'eaire sym\'etrique associ\'ee \`a $D$. \item Donner son rang et sa matrice dans la base canonique de $\mathcal{M}_2(\R)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \exercice (*) Sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{\R})$ on consid\`ere la forme $\tau(A,B)={\rm Tr}(AB)$ o\`u ${\rm Tr}$ est la trace d'une matrice. \begin{enumerate} \item Montrer que $\tau$ est une forme bilin\'eaire sym\'etrique. \item Montrer que pour toute matrice carr\'ee $A\neq 0$ il existe $B$ telle que $\tau(A,B)\neq 0$. (On pourra calculer $\tau({^t}AA)$). \end{enumerate} \exercice (+) Pour chaque forme quadratique $q$ \begin{itemize} \item Appliquer la r\'eduction de Gauss \`a $q$ pour l'\'ecrire comme combinaison lin\'eaires de carr\'es de formes lin\'eaires ind\'ependantes. \item D\'eduire la signature et le rang de $q$. Donner une base $q$-orthogonale pour $\R^n$. Si possible, donner une base $q$-orthonorm\'ee de $\R^n$. \item La forme bilin\'eaire associ\'ee \`a $q$ est elle un produit scalaire ? \end{itemize} \begin{enumerate} \item $q(x,y)=x^2+xy+3y^2$, \item $q(x,y)=x^2-5xy-y^2 $, \pagebreak \item $q(x,y)=xy$, \item $q(x,y,z)=x^2-2y^2+xz+yz $, \item $q(x,y,z)=xy-yz$, \item $q(x,y,z)=3x^2+y^2+2xy-3xz$. \end{enumerate} \exercice (+) Soit $\mathbb{R}_2[X]$ l'espace vectoriel des polyn\^omes de degré inférieur ou égal à deux, on considère sur $\mathbb{R}_2[X]$ la forme quadratique qui à un polyn\^ome associe son discriminant : $$\Delta : \quad \begin{array}{rcl} \mathbb{R}_2[X] & \to & \mathbb{R} \\ P(X)=aX^2+bX+c & \mapsto & \Delta(P)=b^2-4ac \end{array}$$ \begin{enumerate} \item Donner la forme bilin\'eaire sym\'etrique $\varphi$ associée à $\Delta$. \item Donner la matrice de la forme polaire $\varphi$ dans la base $\cF_0=\{1,X,X^2\}$. \pagebreak \item Montrer que pour tout polyn\^ome $P(X)=aX^2+bX+c$ de $\mathbb{R}_2[X]$, on peut écrire : $\Delta(P)=b^2+(a-c)^2-(a+c)^2.$ \item Montrer que la famille de vecteurs $\cF_1=(\frac 1 2 (X^2-1),X,\frac 1 2 (X^2+1))$ est une base de $\RR_2[X]$. \item Donner la matrice de passage de la base $\cF_0$ à la base $\cF_1$. %\item Donner les coordonnées du polyn\^ome $P(X)=aX^2+bX+c$ dans la base $\cF_1$. %\item Donner la matrice de la forme $\varphi$ dans la base $\cF_1$. \item Exprimer $\Delta(P)$ en fonction des coordonnées de $P$ dans la base $\cF_1$. %\item Donner le rang et la signature de $\varphi$. \end{enumerate} \end{document} \pagebreak \exercice Sur l'espace vectoriel des polyn\^omes \`a coefficients r\'eels, on consid\`ere la forme $$ \phi(P,Q)=\int_{-1}^1 P(t) Q(t) \ dt $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\phi$ est un produit scalaire \item Montrer que pour tout $n>0$, il existe une unique base orthonorm\'ee de l'ensemble des polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$ constitu\'ee de polyn\^omes $(P_0,...,P_n)$ avec degr\'e$(P_i)=i$ et coefficient dominant de $P_i$ strictement positif. D\'eterminer cette base pour $n=2$. \item Montrer que $P_n$ a $n$ racines r\'eelles simples $x_1,...,x_n$ dans l'intervalle $[-1,1]$ (indication~: raisonner par l'absurde) \item Montrer qu'il existe des r\'eels $c_k$ tels que pour tout polyn\^ome $P$ de degr\'e au plus $n-1$ $$ \int_{-1}^1 P(t) \ dt = \sum_{k=1}^n c_k P(x_k)$$ Montrer que cette propri\'et\'e est encore vraie si le degr\'e de $P$ est au plus $2n-1$ (indication~: on pourra faire la division euclidienne de $P$ par $P_n$). \end{enumerate} \exercice On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle $$ ((1-x^2)y')'=Ey \quad (*) $$ \begin{enumerate} \item Que peut-on dire de l'ensemble des solutions de (*)~? \item Pour quelles valeurs de $E$ cette \'equation admet-elle une solution polynomiale de degr\'e $n$~? D\'eterminer dans ce cas l'ensemble des solutions de (*) \item Soit $T$ l'op\'erateur d\'efini sur les fonctions de classe $C^2$ par $$ T(y)=((1-x^2)y')'$$ Interpr\'eter les solutions de la question pr\'ec\'edente en termes de valeurs propres et vecteurs propres de $T$. \item Montrer que deux solutions polynomes de (*) pour deux valeurs distinctes de $E$ sont orthogonales pour le produit scalaire $$ \phi(P,Q)=\int_{-1}^1 P(t) Q(t) \ dt $$ (indication~: on pourra montrer que $T$ est sym\'etrique par rapport au produit scalaire $\phi$) \end{enumerate} %\exercice % On se donne les deux formes quadratiques suivantes : %\begin{enumerate} %\item sur $\mathbb{R}^2$ $q(x,y,z)=x^2+3z^2-xy-yz+zx$ %\item sur $\mathbb{C}^3$ $q(x,y,z)=2x\overline{x}+ix\overline{y} %-i\overline{x}y+2y\overline{y}+i\sqrt{2}x\overline{z}- %i\sqrt{2}\overline{x}z $. %\end{enumerate} %Pour chacune d'entre elles calculer son rang et expliciter la forme bilin\'eaire sym\'etrique % associ\'ee.